Vì A H , C K vuông góc với B D (gt) Suy ra A H // C K Vì A B C D là hình bình hành (gt) Suy ra A D = B C ; A D // B C Xét Δ A D H và Δ C B K ta có: ˆ A H D = ˆ C K B = 90 ∘ (gt) A D = B C (cmt) ˆ A D H = ˆ C B K (do A D // B C ) Suy ra Δ A D H = Δ C B K (ch-gn) Suy ra A H = C K (hai cạnh tương ứng) Mà A H // C K (cmt) Suy ra A H C K là hình bình hành b) Vì A H C K là hình bình hành nên hai đường chéo H K và A C cắt nhau tại trung điểm. Mà I là trung điểm của H K . Suy ra I là trung điểm của A C . Ta lại có A B C D là hình bình hành nên hai đường chéo A C và B D cắt nhau tại trung điểm. Suy ra I là trung điểm của B D hay I B = I D

Vì A B C D là hình bình hành (gt) Suy ra A D = B C ; A D // B C Mà E , F là trung điểm của A D , B C (gt) Suy ra A E = E D = B F = F C Xét tứ giác E B F D ta có: E D = F B (cmt) E D // B F (do A D // B C ) Suy ra E D F B là hình bình hành b) Vì A B C D là hình bình hành (gt) Suy ra O là trung điểm của A C và B D Mà D E B F là hình bình hành (gt) Suy ra O cũng là trung điểm của E F Suy ra E , O , F thẳng hàng

Δ A B C có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Suy ra G là trọng tâm của tam giác. ⇒ B G = 2 3 B M ; G M = 1 3 B M ( 1 ) Mà: P G = 1 2 B G = 1 2 . 2 3 B M = 1 3 B M ( 2 ) Từ (1), (2) suy ra GM = PG Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC. Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF. Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.