Đây em nhé+

Điều kiện:

\(2 n - 3 \textrm{ } \mid \textrm{ } 3 n + 5.\)

Đặt \(d = 2 n - 3\).

Khi đó \(n = \frac{d + 3}{2}\).

Ta viết lại:

\(3 n + 5 = 3 \cdot \frac{d + 3}{2} + 5 = \frac{3 d + 9}{2} + 5 = \frac{3 d + 19}{2} .\)

Điều kiện: \(d \mid \frac{3 d + 19}{2}\).
Tức là tồn tại \(k \in \mathbb{Z}\) sao cho

\(\frac{3 d + 19}{2} = k d .\)

\(\Rightarrow 3 d + 19 = 2 k d .\)
\(\Rightarrow \left(\right. 2 k - 3 \left.\right) d = 19.\)

Vì \(d , k \in \mathbb{Z}\), nên \(\left(\right. 2 k - 3 \left.\right) d = 19\).
Suy ra \(d\) phải là ước của 19.

Các ước của 19: \(d = \pm 1 , \pm 19\).

• Nếu \(d = 1\) \(\Rightarrow n = \frac{1 + 3}{2} = 2\). (thỏa)
• Nếu \(d = - 1\) \(\Rightarrow n = \frac{- 1 + 3}{2} = 1\). (thỏa)
• Nếu \(d = 19\) \(\Rightarrow n = \frac{19 + 3}{2} = 11\). (thỏa)
• Nếu \(d = - 19\) \(\Rightarrow n = \frac{- 19 + 3}{2} = - 8\) (loại vì \(n \notin \mathbb{N}\)).

Kết luận:

\(n\in\left\lbrace{.1,2,11\left.\right.}.\right\rbrace\)

Đây nhé bé

Câu1

Vì \(\mid x \mid \geq 0 \Rightarrow \mid x \mid + 1 \geq 1\).
Do đó \(\left(\right. \mid x \mid + 1 \left.\right)^{10} \geq 1^{10} = 1\).

Suy ra:

\(A = \left(\right. \mid x \mid + 1 \left.\right)^{10} + 2023 \geq 1 + 2023 = 2024.\)

Dấu “=” chỉ xảy ra khi \(\mid x \mid = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

\(\Rightarrow\) Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\boxed{2024}\), đạt tại \(x = 0\).

Câu 2 ( câu này kiến thức nâng cao nhé em nên là khi em đọc lời giải sẽ có khó hiểu nhé )

Đặt \(n = 2022\). Khi đó:

\(A = \frac{n^{2022} + 1}{n^{2023} + 1} , B = \frac{n^{2021} + 1}{n^{2022} + 1} .\)

Xét tổng quát với \(a_{k} = \frac{n^{k} + 1}{n^{k + 1} + 1} , \left(\right. n > 1 \left.\right)\).

Ta gọi k là luỹ thừa của cơ số

\(a_{k} > a_{k - 1} \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. n^{k} + 1 \left.\right)^{2} > \left(\right. n^{k + 1} + 1 \left.\right) \left(\right. n^{k - 1} + 1 \left.\right) .\)

Xét hiệu:

\(\left(\right.n^{k}+1\left.\right)^2-\left(\right.n^{k+1}+1\left.\right)\left(\right.n^{k-1}+1\left.\right)=-n^{k-1}\left(\right.n-1\left.\right)^2<0\)

Vậy \(a_{k} < a_{k - 1}\), tức dãy \(\left(\right. a_{k} \left.\right)\) giảm dần theo \(k\)

Do đó:

\(A = a_{2022} < a_{2021} = B .\)

\(\Rightarrow B>A\)

Câu3

Ta đổi : \(27 = 3^{3}\), \(9 = 3^{2}\), \(125 = 5^{3}\).

\(\frac{5^{16} \cdot \left(\right. 3^{3} \left.\right)^{7}}{\left(\right. 5^{3} \left.\right)^{5} \cdot \left(\right. 3^{2} \left.\right)^{11}} = \frac{5^{16} \cdot 3^{21}}{5^{15} \cdot 3^{22}} = 5^{16 - 15} \cdot 3^{21 - 22} = \frac{5}{3} .\)

Vậy kết quả bằng \(\frac{5}{3}\).