• Hai đường thẳng \(x y\) và \(m n\) song song với nhau: \(x y \parallel m n\).
• Đường thẳng \(a\) cắt đường thẳng \(x y\) tại \(A\) và cắt đường thẳng \(m n\) tại \(B\).
• Đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(x y\) tại \(A\): \(a \bot x y\).

• Đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(m n\) tại \(B\): \(a \bot m n\).

• Chứng minh \(A C \bot A D\):
• • Vì \(A C\) là tia phân giác của \(\angle x A B\), nên \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\).
  • Vì \(A D\) là tia phân giác của \(\angle B A y\), nên \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\).
  • Ta có \(\angle x A B\) và \(\angle B A y\) là hai góc kề bù, nên \(\angle x A B + \angle B A y = 18 0^{\circ}\).
  • Do đó, \(\angle C A B + \angle D A B = \frac{1}{2} \angle x A B + \frac{1}{2} \angle B A y = \frac{1}{2} \left(\right. \angle x A B + \angle B A y \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle C A D = \angle C A B + \angle D A B = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(A C \bot A D\).
• Chứng minh \(B D \bot B C\):
• • Vì \(B C\) là tia phân giác của \(\angle A B m\), nên \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Vì \(B D\) là tia phân giác của \(\angle A B n\), nên \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Ta có \(\angle A B m\) và \(\angle A B n\) là hai góc kề bù, nên \(\angle A B m + \angle A B n = 18 0^{\circ}\).
  • Do đó, \(\angle C B A + \angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B m + \frac{1}{2} \angle A B n = \frac{1}{2} \left(\right. \angle A B m + \angle A B n \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle C B D = \angle C B A + \angle D B A = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(B D \bot B C\).

• Chứng minh \(A D \parallel B C\):
• • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle x A B = \angle A B n\) (hai góc so le trong).
  • Mà \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Ta có \(\angle B A y + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Xét tứ giác \(A B C D\), ta có \(\angle C A D = \angle C B D = 9 0^{\circ}\).
  • Ta cần chứng minh \(\angle A C B + \angle B D A = 18 0^{\circ}\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), ta có \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Ta có \(\angle x A B = \angle C + \angle B D A\) và \(\angle A B m = \angle D + \angle A C B\).
  • Suy ra \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\).
  • Xét tứ giác \(A C B D\), \(\angle C + \angle D + \angle C A D + \angle C B D = 36 0^{\circ}\).
  • \(\angle C + \angle D + 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 36 0^{\circ} \Rightarrow \angle C + \angle D = 18 0^{\circ}\).
  • Ta có \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle y A B\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle m B A\).
  • Ta có \(\angle C = 18 0^{\circ} - \angle C A B - \angle C B A\) (trong tam giác \(A B C\)) và \(\angle D = 18 0^{\circ} - \angle D A B - \angle D B A\) (trong tam giác \(A B D\)).
  • Ta không có đủ thông tin để chứng minh \(A D \parallel B C\).
• Chứng minh \(A C \parallel B D\):
• • Ta đã chứng minh \(A C \bot A D\) và \(B D \bot B C\).
  • Ta có \(\angle C A D = 9 0^{\circ}\) và \(\angle C B D = 9 0^{\circ}\).
  • Để chứng minh \(A C \parallel B D\), ta cần chứng minh \(\angle B A C = \angle A B D\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), ta có \(\angle x A B = \angle A B n\) (so le trong).
  • \(\angle B A C = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle A B D = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Do đó, \(\angle B A C = \angle A B D\).
  • Vậy, \(A C \parallel B D\).

• Chứng minh \(\angle A C B = 9 0^{\circ}\):
• • Xét tam giác \(A B C\).
  • Ta có \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Do đó, \(\angle C A B + \angle C B A = \frac{1}{2} \angle x A B + \frac{1}{2} \angle A B m = \frac{1}{2} \left(\right. \angle x A B + \angle A B m \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Trong tam giác \(A B C\), \(\angle A C B = 18 0^{\circ} - \left(\right. \angle C A B + \angle C B A \left.\right) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle A C B\) là góc vuông.
• Chứng minh \(\angle B D A = 9 0^{\circ}\):
• • Xét tam giác \(A B D\).
  • Ta có \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\) và \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle B A y + \angle A B n = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Do đó, \(\angle D A B + \angle D B A = \frac{1}{2} \angle B A y + \frac{1}{2} \angle A B n = \frac{1}{2} \left(\right. \angle B A y + \angle A B n \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Trong tam giác \(A B D\), \(\angle B D A = 18 0^{\circ} - \left(\right. \angle D A B + \angle D B A \left.\right) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle B D A\) là góc vuông.

b) \(A C \parallel B D\) 

c) Góc \(\angle A C B\) và góc \(\angle B D A\) là các góc vuông.

• Chứng minh \(A C \bot A D\):
• • Vì \(A C\) là tia phân giác của \(\angle x A B\), nên \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\).
  • Vì \(A D\) là tia phân giác của \(\angle B A y\), nên \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\).
  • Ta có \(\angle x A B\) và \(\angle B A y\) là hai góc kề bù, nên \(\angle x A B + \angle B A y = 18 0^{\circ}\).
  • Do đó, \(\angle C A B + \angle D A B = \frac{1}{2} \angle x A B + \frac{1}{2} \angle B A y = \frac{1}{2} \left(\right. \angle x A B + \angle B A y \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle C A D = \angle C A B + \angle D A B = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(A C \bot A D\).
• Chứng minh \(B D \bot B C\):
• • Vì \(B C\) là tia phân giác của \(\angle A B m\), nên \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Vì \(B D\) là tia phân giác của \(\angle A B n\), nên \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Ta có \(\angle A B m\) và \(\angle A B n\) là hai góc kề bù, nên \(\angle A B m + \angle A B n = 18 0^{\circ}\).
  • Do đó, \(\angle C B A + \angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B m + \frac{1}{2} \angle A B n = \frac{1}{2} \left(\right. \angle A B m + \angle A B n \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle C B D = \angle C B A + \angle D B A = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(B D \bot B C\).

• Chứng minh \(A D \parallel B C\):
• • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle x A B = \angle A B n\) (hai góc so le trong).
  • Mà \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Ta có \(\angle B A y + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Xét tứ giác \(A B C D\), ta có \(\angle C A D = \angle C B D = 9 0^{\circ}\).
  • Ta cần chứng minh \(\angle A C B + \angle B D A = 18 0^{\circ}\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), ta có \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Ta có \(\angle x A B = \angle C + \angle B D A\) và \(\angle A B m = \angle D + \angle A C B\).
  • Suy ra \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\).
  • Xét tứ giác \(A C B D\), \(\angle C + \angle D + \angle C A D + \angle C B D = 36 0^{\circ}\).
  • \(\angle C + \angle D + 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 36 0^{\circ} \Rightarrow \angle C + \angle D = 18 0^{\circ}\).
  • Ta có \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle y A B\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle m B A\).
  • Ta có \(\angle C = 18 0^{\circ} - \angle C A B - \angle C B A\) (trong tam giác \(A B C\)) và \(\angle D = 18 0^{\circ} - \angle D A B - \angle D B A\) (trong tam giác \(A B D\)).
  • Ta không có đủ thông tin để chứng minh \(A D \parallel B C\).
• Chứng minh \(A C \parallel B D\):
• • Ta đã chứng minh \(A C \bot A D\) và \(B D \bot B C\).
  • Ta có \(\angle C A D = 9 0^{\circ}\) và \(\angle C B D = 9 0^{\circ}\).
  • Để chứng minh \(A C \parallel B D\), ta cần chứng minh \(\angle B A C = \angle A B D\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), ta có \(\angle x A B = \angle A B n\) (so le trong).
  • \(\angle B A C = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle A B D = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Do đó, \(\angle B A C = \angle A B D\).
  • Vậy, \(A C \parallel B D\).

• Chứng minh \(\angle A C B = 9 0^{\circ}\):
• • Xét tam giác \(A B C\).
  • Ta có \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Do đó, \(\angle C A B + \angle C B A = \frac{1}{2} \angle x A B + \frac{1}{2} \angle A B m = \frac{1}{2} \left(\right. \angle x A B + \angle A B m \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Trong tam giác \(A B C\), \(\angle A C B = 18 0^{\circ} - \left(\right. \angle C A B + \angle C B A \left.\right) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle A C B\) là góc vuông.
• Chứng minh \(\angle B D A = 9 0^{\circ}\):
• • Xét tam giác \(A B D\).
  • Ta có \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\) và \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle B A y + \angle A B n = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Do đó, \(\angle D A B + \angle D B A = \frac{1}{2} \angle B A y + \frac{1}{2} \angle A B n = \frac{1}{2} \left(\right. \angle B A y + \angle A B n \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Trong tam giác \(A B D\), \(\angle B D A = 18 0^{\circ} - \left(\right. \angle D A B + \angle D B A \left.\right) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle B D A\) là góc vuông.

b) \(A C \parallel B D\) 

c) Góc \(\angle A C B\) và góc \(\angle B D A\) là các góc vuông.

• Chứng minh \(A C \bot A D\):
• • Vì \(A C\) là tia phân giác của \(\angle x A B\), nên \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\).
  • Vì \(A D\) là tia phân giác của \(\angle B A y\), nên \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\).
  • Ta có \(\angle x A B\) và \(\angle B A y\) là hai góc kề bù, nên \(\angle x A B + \angle B A y = 18 0^{\circ}\).
  • Do đó, \(\angle C A B + \angle D A B = \frac{1}{2} \angle x A B + \frac{1}{2} \angle B A y = \frac{1}{2} \left(\right. \angle x A B + \angle B A y \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle C A D = \angle C A B + \angle D A B = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(A C \bot A D\).
• Chứng minh \(B D \bot B C\):
• • Vì \(B C\) là tia phân giác của \(\angle A B m\), nên \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Vì \(B D\) là tia phân giác của \(\angle A B n\), nên \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Ta có \(\angle A B m\) và \(\angle A B n\) là hai góc kề bù, nên \(\angle A B m + \angle A B n = 18 0^{\circ}\).
  • Do đó, \(\angle C B A + \angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B m + \frac{1}{2} \angle A B n = \frac{1}{2} \left(\right. \angle A B m + \angle A B n \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle C B D = \angle C B A + \angle D B A = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(B D \bot B C\).

• Chứng minh \(A D \parallel B C\):
• • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle x A B = \angle A B n\) (hai góc so le trong).
  • Mà \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Ta có \(\angle B A y + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Xét tứ giác \(A B C D\), ta có \(\angle C A D = \angle C B D = 9 0^{\circ}\).
  • Ta cần chứng minh \(\angle A C B + \angle B D A = 18 0^{\circ}\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), ta có \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Ta có \(\angle x A B = \angle C + \angle B D A\) và \(\angle A B m = \angle D + \angle A C B\).
  • Suy ra \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\).
  • Xét tứ giác \(A C B D\), \(\angle C + \angle D + \angle C A D + \angle C B D = 36 0^{\circ}\).
  • \(\angle C + \angle D + 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 36 0^{\circ} \Rightarrow \angle C + \angle D = 18 0^{\circ}\).
  • Ta có \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle y A B\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle m B A\).
  • Ta có \(\angle C = 18 0^{\circ} - \angle C A B - \angle C B A\) (trong tam giác \(A B C\)) và \(\angle D = 18 0^{\circ} - \angle D A B - \angle D B A\) (trong tam giác \(A B D\)).
  • Ta không có đủ thông tin để chứng minh \(A D \parallel B C\).
• Chứng minh \(A C \parallel B D\):
• • Ta đã chứng minh \(A C \bot A D\) và \(B D \bot B C\).
  • Ta có \(\angle C A D = 9 0^{\circ}\) và \(\angle C B D = 9 0^{\circ}\).
  • Để chứng minh \(A C \parallel B D\), ta cần chứng minh \(\angle B A C = \angle A B D\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), ta có \(\angle x A B = \angle A B n\) (so le trong).
  • \(\angle B A C = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle A B D = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Do đó, \(\angle B A C = \angle A B D\).
  • Vậy, \(A C \parallel B D\).

• Chứng minh \(\angle A C B = 9 0^{\circ}\):
• • Xét tam giác \(A B C\).
  • Ta có \(\angle C A B = \frac{1}{2} \angle x A B\) và \(\angle C B A = \frac{1}{2} \angle A B m\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle x A B + \angle A B m = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Do đó, \(\angle C A B + \angle C B A = \frac{1}{2} \angle x A B + \frac{1}{2} \angle A B m = \frac{1}{2} \left(\right. \angle x A B + \angle A B m \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Trong tam giác \(A B C\), \(\angle A C B = 18 0^{\circ} - \left(\right. \angle C A B + \angle C B A \left.\right) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle A C B\) là góc vuông.
• Chứng minh \(\angle B D A = 9 0^{\circ}\):
• • Xét tam giác \(A B D\).
  • Ta có \(\angle D A B = \frac{1}{2} \angle B A y\) và \(\angle D B A = \frac{1}{2} \angle A B n\).
  • Vì \(x y \parallel m n\), nên \(\angle B A y + \angle A B n = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía).
  • Do đó, \(\angle D A B + \angle D B A = \frac{1}{2} \angle B A y + \frac{1}{2} \angle A B n = \frac{1}{2} \left(\right. \angle B A y + \angle A B n \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
  • Trong tam giác \(A B D\), \(\angle B D A = 18 0^{\circ} - \left(\right. \angle D A B + \angle D B A \left.\right) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
  • Vậy, \(\angle B D A\) là góc vuông.

b) \(A C \parallel B D\) 

c) Góc \(\angle A C B\) và góc \(\angle B D A\) là các góc vuông.

1.Thiết lập: Cho hai đường thẳng \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\). Khi đó, \(\angle A O B\) và \(\angle C O D\) là hai góc đối đỉnh.

- Tia phân giác: Tính chất góc đối đỉnh: \(\angle A O B = \angle C O D\).

- Gọi \(O E\) là tia phân giác của \(\angle A O B\). Theo định nghĩa, \(\angle A O E = \angle E O B = \frac{1}{2} \angle A O B\).

- Gọi \(O F\) là tia phân giác của \(\angle C O D\). Theo định nghĩa, \(\angle C O F = \angle F O D = \frac{1}{2} \angle C O D\).

- So sánh các góc: Vì \(\angle A O B = \angle C O D\), suy ra \(\frac{1}{2} \angle A O B = \frac{1}{2} \angle C O D\). Do đó, \(\angle A O E = \angle C O F\).

2.Xác định vị trí tia:

- Tia \(O A\) và tia \(O C\) là hai tia đối nhau, tạo thành đường thẳng \(A C\).

- Vì \(\angle A O B\) và \(\angle C O D\) là hai góc đối đỉnh, chúng nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng \(A C\). Tia \(O E\) nằm trong \(\angle A O B\) và tia \(O F\) nằm trong \(\angle C O D\). Do đó, tia \(O E\) và tia \(O F\) nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng \(A C\).

3.Tính góc tạo bởi hai tia phân giác:

- Ta có thể biểu diễn góc của tia \(O F\) so với tia \(O A\) bằng cách cộng góc. Góc tạo bởi tia \(O C\) và tia \(O A\) là \(18 0^{\circ}\) (vì chúng đối nhau).

- Góc giữa tia \(O A\) và tia \(O E\) là \(\angle A O E\).

-Góc giữa tia \(O C\) và tia \(O F\) là \(\angle C O F\).

- Do tia \(O C\) và tia \(O A\) đối nhau, góc giữa tia \(O F\) và tia \(O A\) có thể được xem là \(\angle C O F + \angle A O C\) (nếu \(F\) và \(A\) cùng phía so với \(O C\)) hoặc \(\angle A O C - \angle C O F\).

- Cách đơn giản hơn: Tia \(O E\) tạo với tia \(O A\) một góc \(\angle A O E\). Tia \(O F\) tạo với tia \(O C\) một góc \(\angle C O F\). Vì \(O A\) và \(O C\) đối nhau, tia \(O F\) nằm ở phía "đối diện" so với tia \(O E\) qua đường thẳng \(A C\).

- Ta có \(\angle E O C = 18 0^{\circ} - \angle A O E\) (vì \(\angle A O E\) và \(\angle E O C\) kề bù nếu \(E\) nằm trên \(A C\), điều này không xảy ra).

- Xét tổng góc \(\angle E O F = \angle E O C + \angle C O F\).

- Ta biết \(\angle A O C = 18 0^{\circ}\). Ta có \(\angle A O E = \frac{1}{2} \angle A O B\).

- Góc \(\angle E O C\) không trực tiếp bằng \(18 0^{\circ} - \angle A O E\).

- Tuy nhiên, ta có \(\angle A O C = 18 0^{\circ}\). Tia \(O E\) nằm trong \(\angle A O B\). Tia \(O F\) nằm trong \(\angle C O D\).

-Ta có \(\angle A O E = \frac{1}{2} \angle A O B\) và \(\angle C O F = \frac{1}{2} \angle C O D\). Vì \(\angle A O B = \angle C O D\), nên \(\angle A O E = \angle C O F\).

- Xét góc \(\angle E O F\). Ta có thể viết \(\angle E O F = \angle E O C + \angle C O F\).

-Ta có \(\angle A O C = 18 0^{\circ}\). Ta có \(\angle A O E = \angle C O F\).

- Góc \(\angle E O C\) không bằng \(18 0^{\circ} - \angle A O E\).

- Ta có thể viết góc của tia \(O E\) so với tia \(O A\) là \(\gamma = \frac{1}{2} \angle A O B\).

- Góc của tia \(O F\) so với tia \(O C\) là \(\gamma = \frac{1}{2} \angle C O D\).

- Vì \(O A\) và \(O C\) đối nhau, góc giữa tia \(O F\) và tia \(O A\) là \(18 0^{\circ} + \gamma\).

- Do đó, góc giữa tia \(O E\) và tia \(O F\) là \(\left(\right. 18 0^{\circ} + \gamma \left.\right) - \gamma = 18 0^{\circ}\). Điều này chứng tỏ \(O E\) và \(O F\) là hai tia đối nhau.

a) Chứng minh \(A A^{'} \parallel B B^{'}\) 

Ta có :

\(x y \parallel x^{'} y^{'}\) và \(A B\) là cát tuyến. Vậy nên hai góc so le trong bằng nhau:\(\angle x A B = \angle A B y^{'}\).Theo giả thiết, \(A A^{'}\) là tia phân giác của \(\angle x A B\), nên:\(\angle A^{'} A B = \frac{1}{2} \angle x A B\)Và \(B B^{'}\) là tia phân giác của \(\angle A B y^{'}\), nên:\(\angle A B B^{'} = \frac{1}{2} \angle A B y^{'}\)Từ \(\angle x A B = \angle A B y^{'}\), suy ra ta có \(\frac{1}{2} \angle x A B = \frac{1}{2} \angle A B y^{'}\). Do đó, \(\angle A^{'} A B = \angle A B B^{'}\). Hai góc \(\angle A^{'} A B\) và \(\angle A B B^{'}\) là hai góc so le trong được tạo bởi đường thẳng \(A B\) cắt hai đường thẳng \(A A^{'}\) và \(B B^{'}\). Vì chúng bằng nhau, ta kết luận:\(A A^{'} \parallel B B^{'}\)