a) Vì AH, CK vuông góc với BD (gt)

Suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC; AD // BC

Xét ΔADH và ΔCBK ta có:

ˆAHD=ˆCKB=90∘ (gt)

AD=BC (cmt)

ˆADH=ˆCBK (do AD // BC)

Suy ra ΔADH=ΔCBK (ch-gn)

Suy ra AH=CK (hai cạnh tương ứng)

Mà AH // CK (cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK.

Suy ra I là trung điểm của AC.

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID

a) Ta có : t/g ABCD là hbh 

Suy ra AD=BC

Mà E là trung điểm của AD , F là trung điểm của BC

Suy ra AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

Suy ra BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra O cũng là trung điểm của EF.

suy ra 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác.

\(\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B M ; G M = \frac{1}{3} B M \left(\right. 1 \left.\right)\)

Mà: \(P G = \frac{1}{2} B G = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} B M = \frac{1}{3} B M \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1), (2) suy ra GM = PG

Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a, do ABCD là hình bình hành nên AB//CD,DC=AB

suy ra AE=DF,AE=2AB=2CD=DF

⇒AEFD là hình bình hành

tương tự,tứ giác ABFC có các cạnh đối// và = nhau nên ABFC là hình bình hành

b, vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đg

vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đg

vậy 3 trung điểm AF.DE,BC trùng nhau

vì ABCD là hình bình hsnhf nên ta có:

2 đg chéo cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD

AB//CD nên AM//CN suy ra ∠OAM=∠OCN(2 góc slt)

xét ΔOAM và OCN có:

∠OAM=∠OCN(cmt)

OA=OC(cmt)

∠AOM=∠CON(2 góc đối đỉnh)

do đó ΔOAM=ΔOCN(g.c.g)

mặt khác AB=CD(cmt),AB=AM+BM,CD=CN+DN

suy ra AM=CN(2 cạnh tg ứng)

suy ra BM=DN

xét tứ giác MBND có:

BM//DN(vìAB//CD)

BM=DN(CMT)

do đó tứ giác MBND là hình bình hành

a,do ABCD là hình bình hành nên AB//CD,AD=CD

từ đó AE//CF,AE=EB=DF=FC

do đó tứ giác AEFD là hình bình bình hành

tương tự tứ giác AECF là hình bình hành vì có 2 cạnh đối AE và CF // và= nhau

b,vì AEFD là hình bình hành nên AD=EF

vì AECF là hình bình hành nên AF=EC