Câu 7

a) \(A=2+2^2+2^3+\ldots+2^{99}\).
Đây là cấp số nhân từ \(2^{1}\) đến \(2^{99}\). Tổng:

\(A = \sum_{k = 1}^{99} 2^{k} = \frac{2 \left(\right. 2^{99} - 1 \left.\right)}{2 - 1} = 2 \left(\right. 2^{99} - 1 \left.\right) = 2^{100} - 2.\)

b) \(B=1-7+7^2-7^3+\ldots+7^{48}-7^{49}\).
Đây là tổng các \(7^{k}\) với dấu luân phiên, tức là tổng cấp số nhân với tỉ số \(r = - 7\), từ \(k = 0\) đến \(k = 49\):

\(B = \sum_{k = 0}^{49} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} 7^{k} = \sum_{k = 0}^{49} \left(\right. - 7 \left.\right)^{k} = \frac{1 - \left(\right. - 7 \left.\right)^{50}}{1 - \left(\right. - 7 \left.\right)} = \frac{1 - 7^{50}}{8} .\)

(Đó là dạng rút gọn chính xác.)

Câu 8

a) Dạng đề: \(1+4+4^2+4^3+\ldots+4^{2025}\) chia hết cho \(21\) ?

Hãy xét chu kỳ của \(4^{n}\) theo mod \(21\). Ta có

\(4^{1} \equiv 4 , 4^{2} \equiv 16 , 4^{3} = 64 \equiv 1 \left(\right. m o d 21 \left.\right) ,\)

vậy \(4^{3} \equiv 1 \left(\right. m o d 21 \left.\right)\) — nghĩa là dãy lũy thừa của 4 theo mod 21 có chu kỳ 3. Tổng mỗi nhóm ba số liên tiếp

\(4^{0} + 4^{1} + 4^{2} = 1 + 4 + 16 = 21 \equiv 0 \left(\right. m o d 21 \left.\right) .\)

Tập các số từ \(4^{0}\) đến \(4^{2025}\) có \(2026\) số. Vì \(2026 = 3 \cdot 675 + 1\), nên ta có \(675\) nhóm 3 (mỗi nhóm tổng chia hết cho 21) và dư một số là \(4^{2025}\). Do \(2025\) chia hết cho \(3\), ta có \(4^{2025} \equiv 4^{0} \equiv 1 \left(\right. m o d 21 \left.\right)\).
Vậy tổng toàn bộ hợp lại

\(\equiv 675 \cdot 0 + 1 \equiv 1 \left(\right. m o d 21 \left.\right) ,\)

không chia hết cho \(21\).

Kết luận: Như đề bài viết (tới \(4^{2025}\)), tổng không chia hết cho \(21\).
(Có lẽ đề thực tế muốn mũ cuối là \(2024\) thay vì \(2025\); khi mũ cuối là \(2024\) thì có \(2025\) số, tức \(2025 = 3 \cdot 675\) nhóm đầy đủ nên tổng sẽ chia hết cho \(21\).)

b) Dạng đề: \(5 + 5^{2} + 5^{3} + \hdots + 5^{2024}\) chia hết cho \(30\) ?

Gọi \(S = \sum_{k = 1}^{2024} 5^{k}\). Ta kiểm tra chia hết cho \(2 , 3 , 5\) (vì \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\)):

• Chia cho \(5\): mỗi \(5^{k}\) có \(5\) là thừa số, nên tổng \(S\) chia hết cho \(5\).
• Chia cho \(2\): với modulo \(2\), \(5 \equiv 1\). Do đó mỗi \(5^{k} \equiv 1 \left(\right. m o d 2 \left.\right)\). Có \(2024\) số nên tổng theo modulo \(2\) là \(2024 \cdot 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 2 \left.\right)\). Vậy chia hết cho \(2\).
• Chia cho \(3\): \(5 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\). Lũy thừa luân phiên: \(5^{1} \equiv 2 , \textrm{ }\textrm{ } 5^{2} \equiv 1 , \textrm{ }\textrm{ } 5^{3} \equiv 2 , \textrm{ }\textrm{ } 5^{4} \equiv 1 , \ldots\) (chu kỳ 2). Vì \(2024\) là số chẵn, các cặp \(\left(\right. 5^{2 m - 1} + 5^{2 m} \left.\right) \equiv 2 + 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\). Do đó tổng chia hết cho \(3\).

Từ đó \(S\) chia hết cho \(2 , 3 , 5\) đồng thời, nên chia hết cho \(30\).

Bạn có câu hỏi nào ko thì mik trả lời

Mình đg on nè

Hi

Mình thấy dùng Casio là một lựa chọn tuyệt vời

Tại nó đổi đc quả nên mik ms kiếm. Chứ ko có lý do thì mik ko tốn công sức để cày xu và coin đâu =)))))))

1.

“Áo chàm đưa buổi phân ly,
Cầm tay nhau biết nói gì hôm nay.”
(Tố Hữu – Việt Bắc)
“Áo chàm” hoán dụ chỉ người Việt Bắc.

“Bàn tay ta làm nên tất cả,
Có sức người sỏi đá cũng thành cơm.”
(Hoàng Trung Thông)
“Bàn tay” hoán dụ cho người lao động.

“Ngày ngày mặt trời đi qua trên lăng,
Thấy một mặt trời trong lăng rất đỏ.”
(Viễn Phương – Viếng lăng Bác)
“Mặt trời trong lăng” hoán dụ cho Bác Hồ.

“Áo nâu liền với áo xanh,
Nông thôn cùng với thị thành đứng lên.”
(Tố Hữu)
“Áo nâu” hoán dụ chỉ nông dân, “áo xanh” hoán dụ chỉ công nhân.

“Những ngôi sao thức ngoài kia
Chẳng bằng mẹ đã thức vì chúng con.”
(Trần Quốc Minh – Mẹ)
“Những ngôi sao” hoán dụ cho sự lặng lẽ, kiên nhẫn.

“Vì nhân dân quên mình,
Vì nhân dân hi sinh.”
(Tố Hữu)
“Nhân dân” hoán dụ chỉ Tổ quốc, đất nước.

“Áo vải cờ đào giúp sức cho vua.”
(Nguyễn Đình Chiểu – Văn tế nghĩa sĩ Cần Giuộc)
“Áo vải” hoán dụ chỉ nghĩa sĩ nông dân.

“Bàn tay ta đã chai sần,
Vẫn giương cao ngọn cờ cách mạng.”
“Bàn tay” hoán dụ cho người lao động cách mạng.

“Trái tim Bác sáng ngời,
Cháu con đời đời ghi nhớ.”
“Trái tim Bác” hoán dụ chỉ tình yêu thương của Bác Hồ.

“Lá cờ đỏ thắm giữa trời,
Là máu bao người ngã xuống.”
“Lá cờ đỏ thắm” hoán dụ cho Tổ quốc, độc lập tự do.

Đây nha bạn

Giả sử:

\(a + 4 b \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\)

Tức là:

\(a \equiv - 4 b \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\)

Xét biểu thức cần chứng minh:

\(10 a + 11 b .\)

Thay \(a \equiv - 4 b \left(\right. m o d 13 \left.\right)\):

\(10 a + 11 b \equiv 10 \left(\right. - 4 b \left.\right) + 11 b \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\) \(\equiv - 40 b + 11 b \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\) \(\equiv - 29 b \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\)

Mà \(- 29 \equiv - 29 + 26 = - 3 \equiv 10 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\).
Nên:

\(10 a + 11 b \equiv 10 b \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\)

Bây giờ ta chứng minh \(10 b\) cũng chia hết cho 13.

Từ giả thiết \(a + 4 b \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\), ta có:

\(a \equiv - 4 b \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\)

Suy ra:

\(10 a + 11 b \equiv 10 \left(\right. - 4 b \left.\right) + 11 b = - 40 b + 11 b = - 29 b .\)

Mà \(- 29 b \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\) (vì \(- 29\) chia hết cho 13).

Do đó:

\(10 a + 11 b \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right) .\)

Vậy \(10 a + 11 b\) chia hết cho 13.

Có vẻ như file bị lỗi rồi bạn ạ.