Ta có ax + by/ 2 >= a + b/ 2 * x + y/ 2

=> 2(ax+ by) >= ( a + b)(x+ y)

=> 2(ax+ by) >= ax + ay+ bx+ by

=> ax + by - ay - by >= 0

=> (a-b)(x-y) >= 0 (luôn đúng)

Vậy nếu a>=b, x>=y thì ax+ by/2 >= a+b/2 * x+y/2

Ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 >= 4xy

=> ( x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x + 1) >= 0

=> (x- 2y)^2 + 3(x+1)^2 >= 0 ( đúng với mọi x, y)

Vậy với mọi x, y ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 >= 4xy

Nếu n chia hết cho 3 thì n =3k với k∈N

Xét k=2m thì n = 6m =6m suy ra n(n+1) = 6m(6m+1)n(n+1) chia hết cho 6

Xét k = 2m+1 thì n = 3(2m+1) = 6m+3

Suy ra n(n+1) = (6m+3)(6m+4) = 3.(2m+1).2(3m+2) = 6.(2m+1).(3m+2) chia hết cho 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n( n+1) chia hết cho 6

Nếu n lẻ thì n^3 lẻ

n lẻ <=> n =2k +1 (k ∈ Z)

n^3 =(2k +1)^ 3 = 8k^3 +3.4k^2 +3.2k +1=2( 4k^3 +6k^2 +3k) +1

= 2( 4k3 +6k^2 +3k) chia hết cho 2 => là số chẵn

=>2( 4k^3 +6k^2 +3 k) +1 là số lẻ => n^3 lẻ

Gỉa sử : a+b+c> 1/a + 1/b + 1/c nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong ba số a,b,c lớn hơn 1

*TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 (mâu thuẫn vì abc=1)

*TH2: có 2 số lớn hơn 1

Gỉa sử: a>1, b>1, c<1 <=> a-1>0 , b-1>0 , c-1<0

=> (a-1)(b-1)(c-1)<0

=> abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1< 0

<=> a+b+c < ab+bc+ca

<=> a+b+c < abc/c+abc/a+abc/b

Thay abc=1 ta được: a+b+c < 1/a+1/b+1/c (mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)

=>đpcm

Giả sử a<0, vì abc >0 nên bc <0.

Mặt khác thì ab + ac + bc >0

<=> a(b+c) > -bc >0

=> a(b+c)>0, mà a<0 nên b+c<0

=> a+b+c<0 (vô lý).

Vậy điều giả sử trên là sai,

Suy ra a,b,c là 3 số dương.

Xét tam giác HQD không phải là tam giác đều.

Ta có: A + B + C >= 60 + 60 + 60 >= 180 ( mẫu thuẫn)

Vậy suy ra phải có ít nhất một góc nhỏ hơn 60 độ để HQD không phải là tam giác đều

Giả sử n lẻ, khi đó n có dạng 2k + 1 với k thuộc Z

Suy ra n^2 = (2k +1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 +2k) + 1 là một số lẻ ( mâu thuẫn)

Vậy n chẵn nên nếu n^2 chẵn thì n chẵn