Ta có \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2}} \&\text{nbsp}; \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trương tự \(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(\sqrt{c^{2} - c a + c a} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\).

Từ đó \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + b + c + c + a \left.\right)\)

\(= \left(\right. a + b + c \left.\right) = 3\)                                                                           

Vậy \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{a + b + c}{3} = 1\).

1) Có \(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a - b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b=0
2a-b=0

hay \(a = b = 0\).

2) Có \(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right)\)

\(= \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Từ giả thiết \(z \geq y \geq x \geq 0\) suy ra \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung \(z - y \geq 0\) (2) 

và ta có \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\) (3)

Mà \(z \geq y \geq x \geq 0\) nên \(z \geq y \geq 0\) và \(z - x \geq y - x \geq 0\), từ đó  

\(z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right)\) nên \(z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra  \(\left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0\), kết hợp với (3) suy ra 

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.

Ta có \(\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right)\) với mọi số tự nhiên \(n\).

nên \(2 \left(\right. n + 3 \left.\right) = 2 n + 6 \left(\right. n + 3 \left.\right)\)

Mà: \(2 n + 12 = 2 n + 6 + 6\)

Do đó để \(\left(\right. 2 n + 12 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right)\) thì \(6\) chia hết cho \(n + 3\) nên \(n + 3\) thuộc Ư (6) = {1;2;3;6}

Giải từng trường hợp ta được: \(n = 0 ; n = 3.\)

a) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật \(A B C D\) là:

\(35.20 = 700\) (m\(^{2}\))

b) Quãng đường ông Đức đi một vòng xung quanh vườn dài:

\(\left(\right. 35 + 20 \left.\right) . 2 = 110\) (m)

c) c) Diện tích trồng hoa là: \(700 - 35.20 : 2 = 350\) (m\(^{2}\))

24⋮x;48⋮x;16⋮x và \(x\) lớn nhất

\(\Rightarrow x =\) ƯCLN\(\left(\right. 24 ; 48 ; 16 \left.\right)\)

24 = 2³ . 3 ; 48 = 2⁴ . 3; 16 = 2⁴

ƯCLN\(\left(\right. 24 ; 48 ; 16 \left.\right) = 2^{3} = 8\)

Suy ra x = 8

Vậy cô giáo có thể chia nhiều nhất là \(8\) phần quà. Khi đó, mỗi phần quà có:

24 : 8=3 (quyển vở)

\(48 : 8 = 6\) (bút bi)

\(16 : 8 = 2\) (gói bánh)

 \(\)

a) 5.4^x+ 4^2+x = 336 b) Các bội của 11 là 0''11''22''33''44''55''...

4^x .(5+ 4²) =336 Mà 10<x>40

4^x × 21 = 336 Nên x = (11''22''33'')

4^x = 336 : 21

4^x = 16

4^x = 4²

x=2

Vậy x = 2

a) 571 + 216 + 129 + 124 b) 27. 74 + 26 . 27 - 355

= ( 571 + 129) + ( 216 + 124) = 27 + ( 74 + 26 )

= 700 + 400 = 355 - 27 + 100

=1100 = 355 - 127

= 128

a) Số 320,4914,90 chia hết cho 2 .

b) Số 2315,320,90 chia hết cho 5.

c) Số 4914,90,543 chia hết cho 3.

d) Số 90 chia hết cho cả 2,3,5,9 .

93