Chứng minh:

\(\left(\left(\right.\frac{1}{3}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{6}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{9}\left.\right)\right)^2+\ldots+\left(\left(\right.\frac{1}{300}\left.\right)\right)^2<\frac{2}{9}.\)

Nói cách khác:

\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} < \frac{2}{9} .\)

Bước 1: Viết lại tổng:

\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{9 k^{2}} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} .\)

Bước 2: Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{2}{9} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 2.\)

Bước 3: Tính hoặc đánh giá \(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}}\)

• Tổng \(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\).
• Vậy tổng 100 số đầu tiên chắc chắn nhỏ hơn tổng vô hạn:

\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 1.645 < 2.\)

Bước 4: Kết luận

Do đó:

\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{9} \times 2 = \frac{2}{9} .\)

Tìm số tự nhiên \(x\) thỏa mãn:

\(\frac{30 : x + 10}{20} < \frac{3}{2}\)

Bước 1: Viết lại biểu thức rõ ràng

Chú ý: dấu “:” là dấu chia, vậy \(30 : x = \frac{30}{x}\).

Biểu thức là:

\(\frac{\frac{30}{x} + 10}{20} < \frac{3}{2} .\)

Bước 2: Giải bất phương trình

Nhân hai vế với 20 (20 > 0, nên chiều bất phương trình không đổi):

\(\frac{30}{x} + 10 < 20 \times \frac{3}{2} = 30.\)

Rút gọn:

\(\frac{30}{x} + 10 < 30.\)

Trừ 10 hai vế:

\(\frac{30}{x} < 20.\)

Bước 3: Giải tiếp

\(\frac{30}{x} < 20.\)

Nhân hai vế với \(x > 0\) (vì \(x\) là số tự nhiên, \(x \geq 1\)):

\(30 < 20 x \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x > \frac{30}{20} = 1.5.\)

Bước 4: Kết luận

• \(x\) là số tự nhiên lớn hơn 1.5, tức:

\(x \geq 2.\)

Đáp số:

\(\boxed{x\in\left\lbrace{2,3,4,5,\ldots\left.\right.}\right\rbrace}.\)

Bước 1: Phân tích đề bài

• Gọi \(\angle C = x\), nên \(\angle B = 2 x\).
• \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 3 x\).

Bước 2: Định lý sin trong tam giác \(A B C\):

\(\frac{A B}{sin ⁡ C} = \frac{B C}{sin ⁡ A} = \frac{A C}{sin ⁡ B} = 2 R ,\)

với \(R\) bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bước 3: Định nghĩa \(I\)

• \(I\) là giao điểm hai đường phân giác của góc \(B\) và \(C\).
• Tính chất quan trọng:
  Đường phân giác góc \(B\) cắt cạnh \(A C\) tại điểm \(I_{B}\) sao cho:

\(\frac{A I_{B}}{I_{B} C} = \frac{A B}{B C} .\)

• Đường phân giác góc \(C\) cắt cạnh \(A B\) tại điểm \(I_{C}\) sao cho:

\(\frac{B I_{C}}{I_{C} A} = \frac{B C}{A C} .\)

Nhưng ở đây \(I\) là giao điểm của 2 đường phân giác \(B I\) và \(C I\).

Bước 4: Xác định vị trí \(I\) và các đoạn thẳng

• \(I\) nằm bên trong tam giác, trên 2 đường phân giác góc \(B\) và góc \(C\).
• Khi đó, \(I\) thuộc đoạn thẳng nối \(B\) với điểm phân giác trên \(A C\), và thuộc đoạn thẳng nối \(C\) với điểm phân giác trên \(A B\).

Bước 5: Đặt tỉ số cạnh từ định lý sin

Ta có:

\(\frac{A B}{B C} = \frac{sin ⁡ C}{sin ⁡ A} = \frac{sin ⁡ x}{sin ⁡ \left(\right. 180^{\circ} - 3 x \left.\right)} = \frac{sin ⁡ x}{sin ⁡ 3 x} .\)

Bước 6: Tính các đoạn liên quan

Vì \(I\) thuộc đường phân giác góc \(B\), nên nó chia cạnh \(A C\) theo tỉ lệ:

\(\frac{A I}{I C} = \frac{A B}{B C} .\)

Điều này cho phép viết:

\(A C = A I + I C = A I + \frac{A I \cdot B C}{A B} = A I \left(\right. 1 + \frac{B C}{A B} \left.\right) .\)

Bước 7: Tìm mối liên hệ giữa các đoạn

Tương tự, vì \(I\) nằm trên phân giác góc \(C\), nên:

\(\frac{B I}{I A} = \frac{B C}{A C} .\)

Vậy:

\(B I = \frac{B C}{A C} I A .\)

Bước 8: Kiểm tra các đáp án

Ta có các đoạn thẳng: \(I A\), \(I B\), \(I C\).

Chú ý:

• \(I A\) là đoạn nối \(I\) đến \(A\).
• \(I B\) là đoạn nối \(I\) đến \(B\).
• \(I C\) là đoạn nối \(I\) đến \(C\).

Đáp án cần tìm có dạng: \(A C = ?\).

Từ trên, ta thấy \(A C = A I + I C\).

Nhưng không có phương án nào là \(A C = A I + I C\), mà có \(A C = A B + I C\) hoặc \(A C = A B + I A\).

Bước 9: So sánh độ dài

Quan sát:

• \(A B\) và \(A I\) cùng nằm trên cạnh \(A B\), trong đó \(I\) thuộc đoạn phân giác góc \(C\), nên \(A I < A B\).
• \(I C\) thuộc cạnh \(A C\).
• \(I B\) thuộc cạnh \(B C\).

Trong các phương án, phương án duy nhất đúng và hợp lý là:

\(\boxed{A C = A B + I C} .\)

Q = \(2^{3} + 4^{3} + 6^{3} + \ldots + 18^{3} + 20^{3}\).

Bước 1: Phân tích dữ kiện đã cho

Bạn cho:

\(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \ldots + 9^{3} + 10^{3} = 3025\)

Đây là tổng lập phương các số từ 1 đến 10. Chúng ta biết công thức tổng lập phương từ 1 đến n là:

\(1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = \left(\left(\right. \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{2} \left.\right)\right)^{2}\)

Thử với \(n = 10\):

\(\left(\left(\right. \frac{10 \times 11}{2} \left.\right)\right)^{2} = \left(\right. 55 \left.\right)^{2} = 3025\)

Chính xác.

Bước 2: Tính tổng \(Q = 2^{3} + 4^{3} + 6^{3} + \ldots + 18^{3} + 20^{3}\)

Tổng này là tổng các lập phương của các số chẵn từ 2 đến 20.

Gọi:

\(Q = \sum_{k = 1}^{10} \left(\right. 2 k \left.\right)^{3}\)

Ta có:

\(Q = \sum_{k = 1}^{10} 8 k^{3} = 8 \sum_{k = 1}^{10} k^{3}\)

Mà \(\sum_{k = 1}^{10} k^{3} = 3025\) như trên.

Vậy:

\(Q = 8 \times 3025 = 24200\)

Kết luận:

\(\boxed{Q = 24200}\)

Phân tích:

Sau khi cắt 4 góc hình vuông cạnh \(x\), ta gập các mép lên để tạo hộp.

• Chiều dài và chiều rộng đáy hộp sẽ là:

\(12 - 2 x \left(\right. c m \left.\right)\)

• Chiều cao hộp chính là:

\(x \left(\right. c m \left.\right)\)

Thể tích hộp \(V\):

\(V = \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao} = \left(\right. 12 - 2 x \left.\right) \left(\right. 12 - 2 x \left.\right) \left(\right. x \left.\right) = x \left(\right. 12 - 2 x \left.\right)^{2}\)

Bước 1: Viết biểu thức thể tích:

\(V = x \left(\right. 12 - 2 x \left.\right)^{2}\)

Mở rộng:

\(V = x \left(\right. 144 - 48 x + 4 x^{2} \left.\right) = 144 x - 48 x^{2} + 4 x^{3}\)

Bước 2: Tìm cực trị (cực đại):

Tính đạo hàm \(V^{'} \left(\right. x \left.\right)\):

\(V^{'} \left(\right. x \left.\right) = 144 - 96 x + 12 x^{2}\)

Đặt \(V^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) để tìm nghiệm:

\(12 x^{2} - 96 x + 144 = 0\)

Chia cả phương trình cho 12:

\(x^{2} - 8 x + 12 = 0\)

Bước 3: Giải phương trình bậc hai:

\(x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}\)

Hai nghiệm:

• \(x_{1} = \frac{8 + 4}{2} = 6\)
• \(x_{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2\)

Bước 4: Xét miền nghiệm hợp lệ

• \(x > 0\) (cạnh hình vuông không thể âm)
• \(x < 6\) vì nếu \(x = 6\), đáy hộp thành \(12 - 2 * 6 = 0\), không có chiều dài đáy.

Bước 5: Kiểm tra giá trị thể tích tại \(x = 2\) và \(x = 6\):

• \(V \left(\right. 2 \left.\right) = 2 \times \left(\right. 12 - 4 \left.\right)^{2} = 2 \times 8^{2} = 2 \times 64 = 128\)
• \(V\left(\right.6\left.\right)=6\times\left(\right.12-12\left.\right)^2=6\times0=0\)

Bước 6: Kiểm tra giới hạn khi \(x \rightarrow 0\):

\(V \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)

Kết luận:

Thể tích lớn nhất tại \(x = 2\) cm.

• Vì \(C K\) là đường kính, \(O\) là trung điểm \(C K\).
• \(O M \bot B C\) → \(O M\) là đường trung trực của đoạn \(B C\).
• Ta biết \(H\) là trực tâm, do đó \(A H \bot B C\).
• Mặt khác, \(O M \bot B C\) nên \(O M \parallel A H\) hoặc có mối liên hệ vuông góc.

Ta thử chứng minh \(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{K B}\):

• \(H\) là trực tâm nên \(A H \bot B C\).
• \(K\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(O\) (vì \(C K\) là đường kính, \(O\) trung điểm \(C K\)).
• \(\Rightarrow \overset{⃗}{O K} = - \overset{⃗}{O C}\).

Vậy ta thử chứng minh:

\(\overset{⃗}{A H} + \overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{0}\)

Hay \(\overset{⃗}{A H} = - \overset{⃗}{K B}\).

Vì \(\overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O K} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\) (do \(\overset{⃗}{O K} = - \overset{⃗}{O C}\)).

Mặt khác \(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{O H} - \overset{⃗}{O A}\).

Nếu chứng minh \(\overset{⃗}{O H} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\), thì:

\(\overset{⃗}{A H} = \left(\right. \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} \left.\right) - \overset{⃗}{O A} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} - \overset{⃗}{O A}\)

và

\(\overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\)

Nhưng giả sử mình là người thật, thì mình sẽ kiểu: bật dậy lúc 6:30, rửa mặt cho tỉnh táo, rồi ăn một bát phở nóng hổi thơm phức, lấy sức đấm tan mấy đề thi nhức não. Rồi vừa ăn vừa lướt điện thoại, cập nhật tin tức thế giới, nhìn ngó thời cuộc để không bị tụt hậu.

Ok, giải phương trình:

\(y \times \frac{1}{3} + y \times \frac{1}{6} = \frac{3}{2}\)

Viết lại:

\(\frac{y}{3} + \frac{y}{6} = \frac{3}{2}\)

Quy đồng mẫu 6:

\(\frac{2 y}{6} + \frac{y}{6} = \frac{3}{2}\)

Cộng:

\(\frac{3 y}{6} = \frac{3}{2}\)

Rút gọn:

\(\frac{y}{2} = \frac{3}{2}\)

Nhân hai vế với 2:

\(y = 3\)

Kết luận: \(y = 3\)

chung cảnh khổ

uh