Giả sử mỗi mảnh đất hình chữ nhật ở góc có một cạnh là \(3\) m, cạnh còn lại bằng \(x\) (chiều cạnh vườn).

Tổng diện tích 4 hình chữ nhật là:

\(4 \times \left(\right. 3 \times x \left.\right) = 60\) \(12 x = 60 \Rightarrow x = 5 \&\text{nbsp};(\text{m})\)

Kết quả:

\(\boxed{x=5\text{m}}\)

Câu c)

\(7^{x + 1} + 7^{x} = 8 \times 7^{5}\)

Bước 1: Đặt \(7^{x} = a\)

\(7^{x + 1} = 7 \cdot 7^{x} = 7 a\)

Bước 2: Thay vào phương trình

\(7 a + a = 8 \times 7^{5}\) \(8 a = 8 \times 7^{5}\)

Bước 3: Chia cả hai vế cho 8

\(a = 7^{5}\)

Bước 4: Trả lại \(a = 7^{x}\)

\(7^{x} = 7^{5} \Rightarrow x = 5\)

✅ Kết quả: \(x = 5\)

Câu d)

\(11^{x + 3} + 11^{x + 2} = 12 \times 11^{10}\)

Bước 1: Đặt \(11^{x} = b\)

\(11^{x + 3} = 11^{3} \cdot 11^{x} = 1331 b\) \(11^{x + 2} = 11^{2} \cdot 11^{x} = 121 b\)

Bước 2: Thay vào phương trình

\(1331 b + 121 b = 12 \times 11^{10}\) \(1452 b = 12 \times 11^{10}\)

Bước 3: Chia cả hai vế cho 1452
Trước hết:

\(1452 = 12 \times 121\)

nên:

\(b = \frac{12 \times 11^{10}}{12 \times 121} = \frac{11^{10}}{11^{2}} = 11^{8}\)

Bước 4: Trả lại \(b = 11^{x}\)

\(11^{x} = 11^{8} \Rightarrow x = 8\)

✅ Kết quả: \(x = 8\)

Vấn đề ở đây là bạn cộng sai loại tiền:

• Lúc đầu: Bạn mượn mẹ 50k + bố 50k = 100k.
• Mua áo 97k, còn 3k.
• Trả mẹ 1k, trả bố 1k ⇒ còn nợ mẹ 49k, bố 49k (tổng nợ 98k).
• Bạn giữ 1k tiền mặt.

Điểm mấu chốt: 98k này đã bao gồm cả 1k bạn giữ (98k nợ + 1k bạn giữ = 99k), và 99k đó chính là giá trị của cái áo 97k + 2k đã trả cho bố mẹ.

Không có “mất” 1k nào hết, chỉ là cách bạn cộng “nợ” với “tiền mình có” là vô lý.
Đúng công thức phải là:

97k (áo) + 1k (tiền giữ) + 2k (trả cho bố mẹ) = 100k ban đầu.

Bản chất vấn đề:

• \(11^{2} = 121\).
• \(3^{39}\) là một con số khổng lồ, cực kỳ lớn luôn, gấp rất nhiều lần 121.

So sánh nhanh:

• \(3^{5} = 243 > 121\), tức là chỉ cần 3 mũ 5 thôi đã vượt 11 mũ 2 rồi.
• Mà bạn hỏi \(3^{39}\), nó là \(3^{5}\) mũ 7 hơn, tức \(243^{7}\), to tướng không thể tưởng tượng nổi.

Kết luận:

\(\boxed{3^{39} \gg 11^{2}} .\)

Chứng minh:

\(\left(\left(\right.\frac{1}{3}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{6}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{9}\left.\right)\right)^2+\ldots+\left(\left(\right.\frac{1}{300}\left.\right)\right)^2<\frac{2}{9}.\)

Nói cách khác:

\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} < \frac{2}{9} .\)

Bước 1: Viết lại tổng:

\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{9 k^{2}} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} .\)

Bước 2: Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{2}{9} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 2.\)

Bước 3: Tính hoặc đánh giá \(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}}\)

• Tổng \(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\).
• Vậy tổng 100 số đầu tiên chắc chắn nhỏ hơn tổng vô hạn:

\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 1.645 < 2.\)

Bước 4: Kết luận

Do đó:

\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{9} \times 2 = \frac{2}{9} .\)

Tìm số tự nhiên \(x\) thỏa mãn:

\(\frac{30 : x + 10}{20} < \frac{3}{2}\)

Bước 1: Viết lại biểu thức rõ ràng

Chú ý: dấu “:” là dấu chia, vậy \(30 : x = \frac{30}{x}\).

Biểu thức là:

\(\frac{\frac{30}{x} + 10}{20} < \frac{3}{2} .\)

Bước 2: Giải bất phương trình

Nhân hai vế với 20 (20 > 0, nên chiều bất phương trình không đổi):

\(\frac{30}{x} + 10 < 20 \times \frac{3}{2} = 30.\)

Rút gọn:

\(\frac{30}{x} + 10 < 30.\)

Trừ 10 hai vế:

\(\frac{30}{x} < 20.\)

Bước 3: Giải tiếp

\(\frac{30}{x} < 20.\)

Nhân hai vế với \(x > 0\) (vì \(x\) là số tự nhiên, \(x \geq 1\)):

\(30 < 20 x \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x > \frac{30}{20} = 1.5.\)

Bước 4: Kết luận

• \(x\) là số tự nhiên lớn hơn 1.5, tức:

\(x \geq 2.\)

Đáp số:

\(\boxed{x\in\left\lbrace{2,3,4,5,\ldots\left.\right.}\right\rbrace}.\)

Bước 1: Phân tích đề bài

• Gọi \(\angle C = x\), nên \(\angle B = 2 x\).
• \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 3 x\).

Bước 2: Định lý sin trong tam giác \(A B C\):

\(\frac{A B}{sin ⁡ C} = \frac{B C}{sin ⁡ A} = \frac{A C}{sin ⁡ B} = 2 R ,\)

với \(R\) bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bước 3: Định nghĩa \(I\)

• \(I\) là giao điểm hai đường phân giác của góc \(B\) và \(C\).
• Tính chất quan trọng:
  Đường phân giác góc \(B\) cắt cạnh \(A C\) tại điểm \(I_{B}\) sao cho:

\(\frac{A I_{B}}{I_{B} C} = \frac{A B}{B C} .\)

• Đường phân giác góc \(C\) cắt cạnh \(A B\) tại điểm \(I_{C}\) sao cho:

\(\frac{B I_{C}}{I_{C} A} = \frac{B C}{A C} .\)

Nhưng ở đây \(I\) là giao điểm của 2 đường phân giác \(B I\) và \(C I\).

Bước 4: Xác định vị trí \(I\) và các đoạn thẳng

• \(I\) nằm bên trong tam giác, trên 2 đường phân giác góc \(B\) và góc \(C\).
• Khi đó, \(I\) thuộc đoạn thẳng nối \(B\) với điểm phân giác trên \(A C\), và thuộc đoạn thẳng nối \(C\) với điểm phân giác trên \(A B\).

Bước 5: Đặt tỉ số cạnh từ định lý sin

Ta có:

\(\frac{A B}{B C} = \frac{sin ⁡ C}{sin ⁡ A} = \frac{sin ⁡ x}{sin ⁡ \left(\right. 180^{\circ} - 3 x \left.\right)} = \frac{sin ⁡ x}{sin ⁡ 3 x} .\)

Bước 6: Tính các đoạn liên quan

Vì \(I\) thuộc đường phân giác góc \(B\), nên nó chia cạnh \(A C\) theo tỉ lệ:

\(\frac{A I}{I C} = \frac{A B}{B C} .\)

Điều này cho phép viết:

\(A C = A I + I C = A I + \frac{A I \cdot B C}{A B} = A I \left(\right. 1 + \frac{B C}{A B} \left.\right) .\)

Bước 7: Tìm mối liên hệ giữa các đoạn

Tương tự, vì \(I\) nằm trên phân giác góc \(C\), nên:

\(\frac{B I}{I A} = \frac{B C}{A C} .\)

Vậy:

\(B I = \frac{B C}{A C} I A .\)

Bước 8: Kiểm tra các đáp án

Ta có các đoạn thẳng: \(I A\), \(I B\), \(I C\).

Chú ý:

• \(I A\) là đoạn nối \(I\) đến \(A\).
• \(I B\) là đoạn nối \(I\) đến \(B\).
• \(I C\) là đoạn nối \(I\) đến \(C\).

Đáp án cần tìm có dạng: \(A C = ?\).

Từ trên, ta thấy \(A C = A I + I C\).

Nhưng không có phương án nào là \(A C = A I + I C\), mà có \(A C = A B + I C\) hoặc \(A C = A B + I A\).

Bước 9: So sánh độ dài

Quan sát:

• \(A B\) và \(A I\) cùng nằm trên cạnh \(A B\), trong đó \(I\) thuộc đoạn phân giác góc \(C\), nên \(A I < A B\).
• \(I C\) thuộc cạnh \(A C\).
• \(I B\) thuộc cạnh \(B C\).

Trong các phương án, phương án duy nhất đúng và hợp lý là:

\(\boxed{A C = A B + I C} .\)

Q = \(2^{3} + 4^{3} + 6^{3} + \ldots + 18^{3} + 20^{3}\).

Bước 1: Phân tích dữ kiện đã cho

Bạn cho:

\(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \ldots + 9^{3} + 10^{3} = 3025\)

Đây là tổng lập phương các số từ 1 đến 10. Chúng ta biết công thức tổng lập phương từ 1 đến n là:

\(1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = \left(\left(\right. \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{2} \left.\right)\right)^{2}\)

Thử với \(n = 10\):

\(\left(\left(\right. \frac{10 \times 11}{2} \left.\right)\right)^{2} = \left(\right. 55 \left.\right)^{2} = 3025\)

Chính xác.

Bước 2: Tính tổng \(Q = 2^{3} + 4^{3} + 6^{3} + \ldots + 18^{3} + 20^{3}\)

Tổng này là tổng các lập phương của các số chẵn từ 2 đến 20.

Gọi:

\(Q = \sum_{k = 1}^{10} \left(\right. 2 k \left.\right)^{3}\)

Ta có:

\(Q = \sum_{k = 1}^{10} 8 k^{3} = 8 \sum_{k = 1}^{10} k^{3}\)

Mà \(\sum_{k = 1}^{10} k^{3} = 3025\) như trên.

Vậy:

\(Q = 8 \times 3025 = 24200\)

Kết luận:

\(\boxed{Q = 24200}\)

Phân tích:

Sau khi cắt 4 góc hình vuông cạnh \(x\), ta gập các mép lên để tạo hộp.

• Chiều dài và chiều rộng đáy hộp sẽ là:

\(12 - 2 x \left(\right. c m \left.\right)\)

• Chiều cao hộp chính là:

\(x \left(\right. c m \left.\right)\)

Thể tích hộp \(V\):

\(V = \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao} = \left(\right. 12 - 2 x \left.\right) \left(\right. 12 - 2 x \left.\right) \left(\right. x \left.\right) = x \left(\right. 12 - 2 x \left.\right)^{2}\)

Bước 1: Viết biểu thức thể tích:

\(V = x \left(\right. 12 - 2 x \left.\right)^{2}\)

Mở rộng:

\(V = x \left(\right. 144 - 48 x + 4 x^{2} \left.\right) = 144 x - 48 x^{2} + 4 x^{3}\)

Bước 2: Tìm cực trị (cực đại):

Tính đạo hàm \(V^{'} \left(\right. x \left.\right)\):

\(V^{'} \left(\right. x \left.\right) = 144 - 96 x + 12 x^{2}\)

Đặt \(V^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) để tìm nghiệm:

\(12 x^{2} - 96 x + 144 = 0\)

Chia cả phương trình cho 12:

\(x^{2} - 8 x + 12 = 0\)

Bước 3: Giải phương trình bậc hai:

\(x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}\)

Hai nghiệm:

• \(x_{1} = \frac{8 + 4}{2} = 6\)
• \(x_{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2\)

Bước 4: Xét miền nghiệm hợp lệ

• \(x > 0\) (cạnh hình vuông không thể âm)
• \(x < 6\) vì nếu \(x = 6\), đáy hộp thành \(12 - 2 * 6 = 0\), không có chiều dài đáy.

Bước 5: Kiểm tra giá trị thể tích tại \(x = 2\) và \(x = 6\):

• \(V \left(\right. 2 \left.\right) = 2 \times \left(\right. 12 - 4 \left.\right)^{2} = 2 \times 8^{2} = 2 \times 64 = 128\)
• \(V\left(\right.6\left.\right)=6\times\left(\right.12-12\left.\right)^2=6\times0=0\)

Bước 6: Kiểm tra giới hạn khi \(x \rightarrow 0\):

\(V \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)

Kết luận:

Thể tích lớn nhất tại \(x = 2\) cm.

• Vì \(C K\) là đường kính, \(O\) là trung điểm \(C K\).
• \(O M \bot B C\) → \(O M\) là đường trung trực của đoạn \(B C\).
• Ta biết \(H\) là trực tâm, do đó \(A H \bot B C\).
• Mặt khác, \(O M \bot B C\) nên \(O M \parallel A H\) hoặc có mối liên hệ vuông góc.

Ta thử chứng minh \(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{K B}\):

• \(H\) là trực tâm nên \(A H \bot B C\).
• \(K\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(O\) (vì \(C K\) là đường kính, \(O\) trung điểm \(C K\)).
• \(\Rightarrow \overset{⃗}{O K} = - \overset{⃗}{O C}\).

Vậy ta thử chứng minh:

\(\overset{⃗}{A H} + \overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{0}\)

Hay \(\overset{⃗}{A H} = - \overset{⃗}{K B}\).

Vì \(\overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{O B} - \overset{⃗}{O K} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\) (do \(\overset{⃗}{O K} = - \overset{⃗}{O C}\)).

Mặt khác \(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{O H} - \overset{⃗}{O A}\).

Nếu chứng minh \(\overset{⃗}{O H} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\), thì:

\(\overset{⃗}{A H} = \left(\right. \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} \left.\right) - \overset{⃗}{O A} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} - \overset{⃗}{O A}\)

và

\(\overset{⃗}{K B} = \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C}\)