Xét tam giác \(A I C\):

• Có \(\angle A I C = 90^{\circ}\),
• \(B E \bot A C\), nên \(I \in B E\), nằm trên đường vuông góc với \(A C\),
• Nên \(I\) là chân đường vuông góc từ \(A\) đến một đường vuông góc với \(A C\)

Tương tự, trong tam giác \(A K B\):

• \(\angle A K B = 90^{\circ}\)
• \(C F \bot A B\), nên \(K\) nằm trên đường vuông góc với \(A B\)

Vì góc \(\angle C A B = 60^{\circ}\) (giả thiết phần b), và trong hai tam giác vuông \(A I C\) và \(A K B\), mỗi tam giác đều có:

• Góc vuông tại \(I\) và \(K\),
• Góc nhọn \(\angle C A I = \angle B A K = 30^{\circ}\) (vì \(\angle A = 60^{\circ}\), và mỗi tam giác vuông chia đôi góc đỉnh A ra 30–60)

Do đó hai tam giác:

• \(\triangle A I C\) và \(\triangle A K B\) vuông tại \(I\) và \(K\),
• Có cùng góc nhọn \(30^{\circ}\) tại đỉnh \(A\),

→ Hai tam giác đồng dạng theo góc – góc.

Mà lại còn:

• Cạnh \(A C = A B\) (do góc A = 60 độ mà tam giác có diện tích 120, nên có thể dẫn đến \(A B = A C\), ta sẽ thấy rõ hơn ở câu b)

=> Từ đồng dạng, có thể suy ra:AI=AK

• Gọi lại các đường cao:
• • \(B E \bot A C\)
  • \(C F \bot A B\)

=> Giao điểm \(E\) là chân đường cao từ \(B\), và \(F\) là chân đường cao từ \(C\).

Diện tích tam giác \(A B C\):

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin ⁡ \left(\right. \angle A \left.\right) \Rightarrow 120 = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin ⁡ \left(\right. 60^{\circ} \left.\right)\)

Mà \(sin ⁡ \left(\right. 60^{\circ} \left.\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(120 = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot A B \cdot A C \Rightarrow A B \cdot A C = \frac{120 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{480}{\sqrt{3}}\)

👉 \(A E F\) là tam giác tạo bởi đỉnh \(A\) và hai chân đường cao từ hai đỉnh còn lại.

\(\)

Vì \(B C = B D\), nên tam giác \(C B D\) cân tại đỉnh \(B\).

Suy ra: đường trung tuyến \(B H\) (do \(H\) là trung điểm \(C D\)) đồng thời là:Đường cao: \(B H \bot C D\)

Do \(A B \parallel C D\), và \(B H \bot C D\), nên:

\(B H \bot A B\)

Vậy \(B H\) vuông góc với cả hai đáy của hình thang!

Gọi đường thẳng \(E F\) đi qua \(H\), cắt:

• \(A C\) tại \(E\),
• \(A D\) tại \(F\)

Các điểm \(E , H , F\) thẳng hàng trên đường \(E F\)

xét hai tam giác:

• Tam giác \(D B F\), với góc cần xét là \(\angle D B F\)
• Tam giác \(E B C\), với góc cần xét là \(\angle E B C\)

Cùng nhìn vào điểm \(B\) – đỉnh chung.

Ta đã biết rằng:

• \(B H \bot A B\), và do đó là đường cao từ \(B\) của cả hai tam giác đó.
• Hơn nữa, do tam giác \(C B D\) cân tại \(B\), nên hai góc đáy bằng nhau:

\(\angle D B C = \angle C B A\)

• Vì \(E , H , F\) thẳng hàng,
• Và \(H\) nằm trên trung trực của \(C D\), nên:

\(\angle D B F = \angle C B H = \angle E B C\)\(\)

xét tam giác \(K E G\), với \(A\) là điểm nằm ngoài tam giác đó. Gọi các đoạn:

• \(A E\) là đoạn từ \(A\) đến \(E\),
• \(E K\) và \(E G\) là hai đoạn nối từ \(E\) đến hai điểm \(K\) và \(G\) nằm hai bên của \(E\).

Theo định lý hình học trong tam giác (hệ thức đoạn thẳng), nếu ba điểm \(K , E , G\) thẳng hàng và \(A E\) là đường cắt tam giác tại đỉnh, thì có đẳng thức hình học:AE2=EK⋅EG

• \(K\), \(E\), \(G\) nằm trên đường thẳng qua \(A\),
• Khi đó, đoạn \(A E\) nằm giữa hai đoạn \(A K\) và \(A G\).

Nếu ba điểm thẳng hàng theo thứ tự: \(K \rightarrow E \rightarrow G\), và \(A\) là điểm ngoài ba điểm đó, thì:\(\frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\)

Ta xét:

• Đoạn \(B K\) nằm trên cạnh \(B C\),
• Đoạn \(D G\) nằm trên cạnh \(D C\),
• Hai đoạn này luôn nằm đối xứng qua trục của hình bình hành.
• BK⋅DG=ha˘ˋng soˆˊ (khoˆng đổi)

• \(A A^{'} , B B^{'} , C C^{'}\) đồng quy tại điểm \(M\).

Theo định lý Ceva, ta có:

\(& \frac{A B^{'}}{B^{'} C} \cdot \frac{C A^{'}}{A^{'} B} \cdot \frac{B C^{'}}{C^{'} A} = 1 & & (\text{1})\)

Xét tỉ số \(\frac{A M}{A^{'} M}\), ta áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(A B A^{'}\) cắt bởi đường thẳng \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) đồng quy tại \(M\). Nhưng có thể dùng một cách hay hơn: ta đặt các tỉ số như sau:

Giả sử:

• \(\frac{A B^{'}}{B^{'} C} = x \Rightarrow \frac{C B^{'}}{A B^{'}} = \frac{1}{x}\)
• \(\frac{A C^{'}}{C^{'} B} = y \Rightarrow \frac{B C^{'}}{A C^{'}} = \frac{1}{y}\)

Áp dụng định lý Ceva:

\(x \cdot y \cdot \frac{A^{'} C}{A^{'} B} = 1 \Rightarrow \frac{A^{'} C}{A^{'} B} = \frac{1}{x y}\)

Khi đó:

• \(\frac{C B^{'}}{A B^{'}} + \frac{B C^{'}}{A C^{'}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

Mặt khác:

• \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{C B^{'}}{A B^{'}} + \frac{B C^{'}}{A C^{'}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

Vậy:

\(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{C B^{'}}{A B^{'}} + \frac{B C^{'}}{A C^{'}}\)