Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD. Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE. Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC. Do đó GD/GB = 1/2 (tính chất trọng tâm) Nên GB = 2GD. Khi đó ta có BG = 2GD = GM

ta được CG = GN. Xét ∆GMN và ∆GBC, có: GM = GB (chứng minh trên). CG = GN (chứng minh trên). ˆ MGN = BGC (hai góc đối đỉnh). Do đó ∆GMN = ∆GBC (c.g.c). Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng).

Ta có ∆GMN = ∆GBC (chứng minh trên). Suy ra GMN = GBC(cặp góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong. Ta suy ra MN // BC.

BF = CE

=> Tam giác ABC cân tại A

=> AG vuông góc với BC

BF=2BE nên EF=2ED a, =>D là trung điểm của EF Xét ΔFEC có CD,EK là trung tuyến CD cắt EK tại G =>G là trọng tâm b, GE/GK=2 GC/DC=1/3

a, Xét ΔABD có C là trung điểm của cạnh AD→ BC là trung tuyến của ΔABD. Ta có: G ∈ BC và GB=2GC→ GB= 2/3.BC⇒G là trọng tâm của ΔABD. Lại có: AE là đường trung tuyến của ΔABD(vì E là trung điểm của BD) nên 3 điểm A, G, E thẳng hàng. Vậy 3 điểm A, G, E thẳng hàng.

b, Ta có G là trọng tâm tam giác ABD => DG là đường trung tuyến của tam giác này. Suy ra DG đi qua điểm chung của cạnh AB

a, vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên CG = 2/3 GE; BG = 2/3 GD

=>CE =BD

b,tam giác GBC là tam cân vì có hai cạnh GB và GC bằng nhau

c, G là trọng tâm tam giác ABC nên GD =1/2 GB,GE = 1/2 GC

Đó đó GD +GE = 1/2 (GB +GC)

Suy ra GD + GE = 1/2 BC

Gọi G là giao điểm của BM và CN.Trong tâm giác BCG,áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Ta có :BG+GC>BC

=>2/3 BM + 2/3 CN >BC

=>2/3 (BM + CN) > BC

=>BM + CN > 3/2 BC