a) Ta có DM=DG \Rightarrow GM=2 GDDM=DG⇒GM=2GD.

Ta lại có GG là giao điểm của BDBD và CE \Rightarrow GCE⇒G là trọng tâm của tam giác ABCABC

\Rightarrow BG=2 GD⇒BG=2GD.

Suy ra BG=GMBG=GM.

Chứng minh tương tự ta được CG=GNCG=GN.

b) Xét tam giác GMNGMN và tam giác GBCGBC có GM=GBGM=GB (chứng minh trên);

\widehat{MGN}=\widehat{BGC}MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);

GN=GCGN=GC (chứng minh trên).

Do đó \triangle GMN=\triangle GBC△GMN=△GBC (c.g.c)

\Rightarrow MN=BC⇒MN=BC (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên \triangle GMN=\triangle GBC \Rightarrow \widehat{NMG}=\widehat{CBG}△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).

Mà \widehat{NMG}NMG và \widehat{CBG}CBG ờ vị trí so le trong nên MNMN // BCBC.

Ta có BF = 2BE (giả thiết). Suy ra BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

Do đó ED = DF.

Suy ra D là trung điểm của EF.

Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.

Vì K là trung điểm CF (giả thiết).

Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.

∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.

Do đó đáp án A đúng.

Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên GCDC=23GCDC=23 và GKGE=12GKGE=12 (tính chất trọng tâm)

Do đó đáp án C đúng.

Ta có GKGE=12GKGE=12

Suy ra GEGK=2GEGK=2.

Giải:

a) D là trung điểm AC nên AD = 1212AC

E là trung điểm AB nên AE = 1212AB.

∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra AE = AD.

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

AB = AC (chứng minh trên);

ˆBACBAC^ là góc chung;

AE = AD (chứng minh trên).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c).

b) G là trọng tâm của ∆ABC nên BG=23BDBG=23BD và CG=23CECG=23CE.

Mà BD = CE (do ∆ADB = ∆AEC)

Nên BG = CG

Do đó ∆GBC cân tại G.

c) G là trọng tâm tam giác ABC nên GD=12GB,GE=12GCGD=12GB,GE=12GC

Do đó GD+GE=12(GB+GC)GD+GE=12(GB+GC).

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra GD+GE>12BCGD+GE>12BC.

a, xét 2

2

a: Xét ΔABC có

BM là đường trung tuyến

CN là đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

DO đó:G là trọng tâm

=>BG=2/3BM; CG=2/3CN

\(B M + C N = \frac{2}{3} B G + \frac{2}{3} C G > \frac{2}{3} B C\)

b: BM=CN nên GB=GC

mà AB=AC
nên AG là đường trung trực của BC

=>AG\(\bot\)