a) Số hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn:

Các hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn là các hình nằm trên mặt của hình lập phương lớn nhưng không nằm trên cạnh hoặc đỉnh.

Mỗi mặt của hình lập phương lớn có 4x4 = 16 hình lập phương nhỏ.

Trong đó, có 4 hình lập phương nhỏ nằm trên 4 đỉnh và 4x4 - 4 = 12 hình lập phương nhỏ nằm trên cạnh (trừ đỉnh).

Số hình lập phương nhỏ nằm trên mặt nhưng không nằm trên cạnh hoặc đỉnh của mỗi mặt là:

4x4 - 4x4 + 4 = 4 hình ở giữa mỗi mặt không chính xác.

Ta tính như sau:

Mỗi mặt của hình lập phương lớn có 4x4 = 16 hình lập phương nhỏ, trong đó:

- 4 hình ở 4 đỉnh

- 4x4 - 4 = 12 hình còn lại gồm 4 hình giữa mỗi cạnh (được sơn 2 mặt) và 4 hình ở giữa mặt (được sơn 1 mặt).

Vậy mỗi mặt có 4 hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt.

Tổng số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt là 4 x 6 = 24 hình.

b) Số hình lập phương nhỏ có đúng hai mặt được sơn:

Các hình lập phương nhỏ có đúng hai mặt được sơn là các hình nằm trên cạnh của hình lập phương lớn nhưng không nằm trên đỉnh.

Mỗi cạnh của hình lập phương lớn có 4 hình lập phương nhỏ.

Trong đó, có 2 hình lập phương nhỏ nằm trên 2 đỉnh.

Số hình lập phương nhỏ nằm trên cạnh nhưng không nằm trên đỉnh của mỗi cạnh là:

4 - 2 = 2 hình.

Tổng số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt là 2 x 12 = 24 hình.

Vậy:

a) Số hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn là 24 hình.

b) Số hình lập phương nhỏ có đúng hai mặt được sơn là 24 hình.

Ta có MD là phân giác của góc AMB

⇒ AM/MB = AD/DB (tính chất phân giác)

DB = AB - AD = 10 - 6 = 4 cm

⇒ AM/MB = AD/DB = 6/4 = 3/2

Gọi AM = 3x ⇒ MB = 2x

M là trung điểm của BC

⇒ BM = BC/2 = 30/2 = 15 cm

⇒ 2x = 15

⇒ x = 7,5

AM = 3x = 3 * 7,5 = 22,5 cm

Vậy độ dài AM là 22,5 cm.

a) Chứng minh ΔAEH ∽ ΔAHB:

Xét ΔAEH và ΔAHB, ta có:

- ∠A chung

- ∠AEH = ∠AHB = 90°

Do đó, ΔAEH ∽ ΔAHB (g.g)

Từ đó suy ra: AH/AB = AE/AH

⇒ AH² = AE.AB

b) Chứng minh AE.AB = (không có liên kết)

Tương tự như trên, ta có ΔAFH ∽ ΔAHC (g.g)

⇒ AH/AC = AF/AH

⇒ AH² = (không có liên kết)

Từ AH² = AE.AB và AH² = (không có liên kết), suy ra AE.AB = (không có liên kết)

c) Tính diện tích ΔAEF và ΔACB:

Gọi S₁ là diện tích ΔAEF và S₂ là diện tích ΔACB.

Biết S₂ - S₁ = 25 cm²

Do ΔAEF ∽ ΔACB (c.g.c) và tỉ lệ chu vi là 20/30 = 2/3

⇒ Tỉ lệ diện tích là (2/3)² = 4/9

Gọi S₁ = 4x và S₂ = 9x

Ta có: 9x - 4x = 25

⇒ 5x = 25

⇒ x = 5

Vậy S₁ = 4x = 4 * 5 = 20 cm²

S₂ = 9x = 9 * 5 = 45 cm²

Diện tích ΔAEF là 20 cm² và diện tích ΔACB là 45 cm².

Số thẻ được đánh số 3 là 6.

Tổng số thẻ là 20.

Xác suất cho biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3" là:

P = Số thẻ đánh số 3 / Tổng số thẻ

= 6/20

= 3/10

Vậy xác suất cho biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3" là 3/10.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/h (x > 3).

Vận tốc xuôi dòng là x + 3 km/h.

Vận tốc ngược dòng là x - 3 km/h.

Thời gian xuôi dòng là 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.

Thời gian ngược dòng là 2 giờ.

Quãng đường AB không đổi, nên ta có thể lập phương trình dựa trên công thức quãng đường = vận tốc * thời gian.

Quãng đường xuôi dòng: (x + 3) * 1,5

Quãng đường ngược dòng: (x - 3) * 2

Vì quãng đường AB không đổi, nên ta có:

(x + 3) * 1,5 = (x - 3) * 2

1,5x + 4,5 = 2x - 6

0,5x = 10,5

x = 21 km/h

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 21 km/h.

Chiều dài quãng sông AB là:

AB = (x + 3) * 1,5 = (21 + 3) * 1,5 = 24 * 1,5 = 36 km.

Vậy chiều dài quãng sông AB là 36 km.

a) 3x - 4 = 5 + x

3x - x = 5 + 4

2x = 9

x = 9/2

Vậy phương trình có nghiệm x = 9/2.

b) 3(x - 1) - 7 = 5(x + 2)

3x - 3 - 7 = 5x + 10

3x - 10 = 5x + 10

3x - 5x = 10 + 10

-2x = 20

x = -10

Vậy phương trình có nghiệm x = -10.

Để tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh, ta có thể sử dụng công thức Heron:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))

trong đó p là nửa chu vi của tam giác, a, b, c là độ dài ba cạnh.

Nửa chu vi p = (a + b + c) / 2

= (10 + 17 + 21) / 2

= 24

Diện tích S = sqrt(24(24-10)(24-17)(24-21))

= sqrt(24 * 14 * 7 * 3)

= sqrt(7056)

= 84

Vậy diện tích tam giác là 84 cm^2.

Để tính thể tích của lồng đèn, ta cần tính thể tích của một hình chóp tứ giác đều và nhân đôi nó.

Thể tích của hình chóp được tính theo công thức:

V = (1/3) * S * h

trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình chóp.

Đáy của hình chóp là hình vuông có cạnh 20 cm, nên diện tích đáy S = 20^2 = 400 cm^2.

Để tính chiều cao h của hình chóp, ta cần tính khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy.

Gọi O là tâm của đáy, S là đỉnh của hình chóp. Ta có:

SO = sqrt(32^2 - (20/2)^2 * 2)

= sqrt(1024 - 200)

= sqrt(824)

Tuy nhiên, chiều cao của lồng đèn là 30 cm và là khoảng cách giữa 2 đỉnh của 2 hình chóp nên chiều cao của 1 hình chóp là h = 30/2 = 15 cm.

Thể tích của một hình chóp là:

V = (1/3) * S * h

= (1/3) * 400 * 15

= 2000 cm^3

Thể tích của lồng đèn là:

V = 2 * 2000

= 4000 cm^3

Vậy thể tích của lồng đèn là 4000 cm^3.

a) Xét tam giác BHK và tam giác CHI, ta có:

∠BHK = ∠CHI = 90 độ (do CI vuông góc với BH)

∠KBH = ∠ICH (do BH là phân giác của ∠KBC)

Vậy tam giác BHK đồng dạng với tam giác CHI (g.g)

b) Từ sự đồng dạng của tam giác BHK và tam giác CHI, ta có:

CI / BH = CH / BK

CI / IB = CH / BK (do IB = BH + HI và CI / (BH + HI) = CH / BK => CI * BH + CI * HI = CH * BK và CI * BH = CH * BK - CI * HI => CI * (BH + HI) = CH * BK => CI * IB = CH * BK và CI / IB = CH / BK)

Mặt khác, ta có CI^2 = CI * CI = CI * IB * CI / IB = CI * IB * CH / BK

Ta có tam giác BKC và tam giác HIC có góc C chung và góc BKC = góc HIC = 90 độ

=> BK / HI = BC / HC = (BD + DC) / (DH + HC) và BK / HI = KC / CI

Từ đó BK / HI = KC / CI = BC / HC

Ta có BK / HI = KC / CI

<=> BK * CI = KC * HI

<=> BK * CI + CI * HI = KC * HI + CI * HI

<=> CI * (BK + HI) = HI * (KC + CI)

<=> CI * BI = HI * IC + HI * KC và CI * BI = CI^2 + HI * KC

Mà CI * BI = CI * (BH + HI) = CI * BH + CI * HI = CH * BK + CI * HI = CI * HI + KC * HI + CI * HI

<=> CI * BI = CI * HI + HI * KC + CI * HI

<=> CI * BI - CI * HI = HI * KC + CI * HI

<=> CI * (BI - HI) = HI * (KC + CI) và BI - HI = BH

<=> CI * BH = HI * (KC + CI) = HI * KC + HI * CI

Mà CI * BH = CH * BK = KC * BH

<=> CI * BH = HI * KC + HI * CI = KC * BH

Vậy CI^2 = IH * IB

c) Để chứng minh KC là tia phân giác của ∠IKD, ta cần chứng minh ∠IKC = ∠DKC.

Từ câu a và b, ta có thể suy ra các tỷ lệ về cạnh và tính chất của các tam giác đồng dạng.

Tuy nhiên, để chứng minh KC là phân giác của ∠IKD, cần thêm các bước chứng minh cụ thể về mối quan hệ giữa các góc và cạnh của tam giác IKD và tam giác BKC.

Do đó, cần sử dụng các tính chất của tam giác đồng dạng và phân giác để chứng minh ∠IKC = ∠DKC.

Vì các bước chứng minh cụ thể cho phần c có thể phức tạp và cần nhiều bước trung gian, nên cần lưu ý đến các tính chất của phân giác và đồng dạng để chứng minh kết quả cuối cùng.

Số viên bi màu đỏ là 8, tổng số viên bi là 19.

Xác suất của biến cố "Lấy được viên bi màu đỏ" là:

P = Số viên bi màu đỏ / Tổng số viên bi

= 8/19

Vậy xác suất của biến cố "Lấy được viên bi màu đỏ" là 8/19.