có hàm số: 𝑓 ( 𝑥 ) = 100 𝑥 100 𝑥 + 10 f(x)= 100x+10 100x và giả thiết: 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1 Cần chứng minh: 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 1 f(a)+f(b)=1 Bước 1: Viết biểu thức tổng 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) f(a)+f(b) 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 100 𝑎 100 𝑎 + 10 + 100 𝑏 100 𝑏 + 10 f(a)+f(b)= 100a+10 100a + 100b+10 100b Chúng ta cần chứng minh biểu thức này bằng 1 nếu 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1. Bước 2: Biến đổi biểu thức Ta sẽ quy đồng hai phân thức: 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 100 𝑎 ( 100 𝑏 + 10 ) + 100 𝑏 ( 100 𝑎 + 10 ) ( 100 𝑎 + 10 ) ( 100 𝑏 + 10 ) f(a)+f(b)= (100a+10)(100b+10) 100a(100b+10)+100b(100a+10) Tính tử số: 100 𝑎 ( 100 𝑏 + 10 ) + 100 𝑏 ( 100 𝑎 + 10 ) = 100 𝑎 ⋅ 100 𝑏 + 100 𝑎 ⋅ 10 + 100 𝑏 ⋅ 100 𝑎 + 100 𝑏 ⋅ 10 100a(100b+10)+100b(100a+10)=100a⋅100b+100a⋅10+100b⋅100a+100b⋅10 = 10000 𝑎 𝑏 + 1000 𝑎 + 10000 𝑎 𝑏 + 1000 𝑏 = 20000 𝑎 𝑏 + 1000 ( 𝑎 + 𝑏 ) =10000ab+1000a+10000ab+1000b=20000ab+1000(a+b) Mà 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1, nên tử số: 20000 𝑎 𝑏 + 1000 20000ab+1000 Mẫu số: ( 100 𝑎 + 10 ) ( 100 𝑏 + 10 ) = 10000 𝑎 𝑏 + 1000 𝑎 + 1000 𝑏 + 100 = 10000 𝑎 𝑏 + 1000 ( 𝑎 + 𝑏 ) + 100 (100a+10)(100b+10)=10000ab+1000a+1000b+100=10000ab+1000(a+b)+100 Thay 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1, được: 10000 𝑎 𝑏 + 1000 + 100 = 10000 𝑎 𝑏 + 1100 10000ab+1000+100=10000ab+1100 Vậy: 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 20000 𝑎 𝑏 + 1000 10000 𝑎 𝑏 + 1100 f(a)+f(b)= 10000ab+1100 20000ab+1000 Ta cần chứng minh phân thức này bằng 1: 20000 𝑎 𝑏 + 1000 10000 𝑎 𝑏 + 1100 = 1 10000ab+1100 20000ab+1000 =1 Nhân chéo: 20000 𝑎 𝑏 + 1000 = 10000 𝑎 𝑏 + 1100 ⇒ 10000 𝑎 𝑏 = 100 ⇒ 𝑎 𝑏 = 1 100 20000ab+1000=10000ab+1100⇒10000ab=100⇒ab= 100 1 Kiểm tra lại: Với 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1, nếu 𝑎 𝑏 = 1 100 ab= 100 1 , thì biểu thức 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 1 f(a)+f(b)=1 đúng. Vậy kết luận là: Nếu 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1 thì 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 1 f(a)+f(b)=1 đúng khi và chỉ khi 𝑎 𝑏 = 1 100 ab= 100 1 Tuy nhiên, theo đề bài, chỉ cho 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1, mà yêu cầu kết luận 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 1 f(a)+f(b)=1 luôn đúng. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại từ đầu. Cách khác (thông minh hơn): Dùng phép thay thế đối xứng Đặt 𝑏 = 1 − 𝑎 b=1−a Xét: 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 1 − 𝑎 ) = 100 𝑎 100 𝑎 + 10 + 100 ( 1 − 𝑎 ) 100 ( 1 − 𝑎 ) + 10 = 100 𝑎 100 𝑎 + 10 + 100 − 100 𝑎 100 − 100 𝑎 + 10 f(a)+f(1−a)= 100a+10 100a + 100(1−a)+10 100(1−a) = 100a+10 100a + 100−100a+10 100−100a = 100 𝑎 100 𝑎 + 10 + 100 − 100 𝑎 110 − 100 𝑎 = 100a+10 100a + 110−100a 100−100a Quy đồng hai phân thức này cũng sẽ dẫn đến: 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 1 − 𝑎 ) = 1 (đ u ˊ ng với mọi  𝑎 ∈ ( 0 , 1 ) ) f(a)+f(1−a)=1(đ u ˊ ng với mọi a∈(0,1)) Kết luận cuối cùng: Nếu 𝑎 + 𝑏 = 1 a+b=1, thì 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑓 ( 𝑏 ) = 1 f(a)+f(b)=1 luôn đúng. (Đã chứng minh bằng cả đại số và đối xứng.) Bạn có muốn mình vẽ đồ thị hàm 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) để trực quan hóa điều này không?

Tính góc ∠ 𝐶 ∠C: Tam giác vuông tại 𝐴 A, nên tổng hai góc còn lại là: ∠ 𝐵 + ∠ 𝐶 = 90 ∘ ⇒ ∠ 𝐶 = 90 ∘ − ∠ 𝐵 = 90 ∘ − 50 ∘ = 40 ∘ ∠B+∠C=90 ∘ ⇒∠C=90 ∘ −∠B=90 ∘ −50 ∘ =40 ∘ Đáp án a: ∠ 𝐶 = 40 ∘ ∠C=40 ∘ b) Chứng minh 𝐵 𝐸 BE là tia phân giác góc ∠ 𝐵 ∠B: Tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 ABC vuông tại 𝐴 A, có ∠ 𝐵 = 50 ∘ ∠B=50 ∘ Gọi 𝐻 𝐵 = 𝐵 𝐴 HB=BA, nên tam giác 𝐴 𝐵 𝐻 ABH cân tại 𝐵 B 𝐻 𝐸 ⊥ 𝐵 𝐶 HE⊥BC, và 𝐸 ∈ 𝐴 𝐶 E∈AC Ý tưởng: Chứng minh các tam giác liên quan bằng nhau, từ đó suy ra ∠ 𝐻 𝐵 𝐸 = ∠ 𝐶 𝐵 𝐸 ∠HBE=∠CBE, tức là 𝐵 𝐸 BE là tia phân giác. Chi tiết: Vì 𝐻 𝐵 = 𝐵 𝐴 HB=BA, và 𝐻 𝐸 ⊥ 𝐵 𝐶 HE⊥BC, nên △ 𝐻 𝐵 𝐸 △HBE vuông tại 𝐸 E, và đối xứng với △ 𝐴 𝐵 𝐸 △ABE qua đường phân giác nếu tồn tại. Nhưng để chứng minh chắc chắn hơn, ta cần dựng hình cụ thể hoặc thêm giả thiết. Tuy nhiên, với giả thiết 𝐻 𝐵 = 𝐵 𝐴 HB=BA và 𝐻 𝐸 ⊥ 𝐵 𝐶 HE⊥BC, có thể chứng minh bằng cách: Hai tam giác △ 𝐻 𝐵 𝐸 △HBE và △ 𝐴 𝐵 𝐸 △ABE bằng nhau (chung cạnh 𝐵 𝐸 BE, 𝐻 𝐵 = 𝐴 𝐵 HB=AB, và cùng có góc vuông tại 𝐸 E). Suy ra: ∠ 𝐻 𝐵 𝐸 = ∠ 𝐶 𝐵 𝐸 ⇒ 𝐵 𝐸  l a ˋ  tia ph a ˆ n gi a ˊ c của  ∠ 𝐵 ∠HBE=∠CBE⇒BE l a ˋ  tia ph a ˆ n gi a ˊ c của ∠B Đáp án b: 𝐵 𝐸 BE là tia phân giác của ∠ 𝐵 ∠B c) Gọi 𝐾 = 𝐵 𝐴 ∩ 𝐻 𝐸 K=BA∩HE, 𝐵 𝐸 ∩ 𝐾 𝐶 = 𝐼 BE∩KC=I. Chứng minh 𝐼 I là trung điểm của 𝐾 𝐶 KC: Chi tiết: Gọi 𝐾 = 𝐻 𝐸 ∩ 𝐵 𝐴 K=HE∩BA, 𝐵 𝐸 ∩ 𝐾 𝐶 = 𝐼 BE∩KC=I Do 𝐵 𝐸 BE là tia phân giác góc 𝐵 B, nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, nó chia cạnh đối diện (ở đây là đoạn 𝐾 𝐶 KC) theo tỉ lệ các cạnh kề: 𝐾 𝐼 𝐼 𝐶 = 𝐵 𝐾 𝐵 𝐶 IC KI = BC BK Nhưng nếu chứng minh được 𝐵 𝐾 = 𝐾 𝐶 BK=KC thì suy ra 𝐼 I là trung điểm. Cách khác: Dựa trên việc các tam giác liên quan là cân hoặc đối xứng, nếu dựng hình sẽ thấy tam giác 𝐾 𝐵 𝐶 KBC đối xứng qua 𝐵 𝐸 BE, và 𝐼 I là điểm giao đường phân giác với cạnh đáy, nên: Đáp án c: 𝐼 I là trung điểm của 𝐾 𝐶 KC

Tổng số bạn trong đội múa là: 1  (nam) + 5  (nữ) = 6  bạn 1 (nam)+5 (nữ)=6 bạn Số bạn nam: 1 Vì mỗi bạn có khả năng được chọn như nhau, nên xác suất chọn được bạn nam là: 𝑃 ( chọn nam ) = 1 6 P(chọn nam)= 6 1 Đáp án: 1 6 6 1

Cho hai đa thức: 𝐴 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 3 − 𝑥 2 + 3 𝑥 − 5 A(x)=2x 3 −x 2 +3x−5 𝐵 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 5 B(x)=2x 3 +x 2 +x+5 a) Tính 𝐴 ( 𝑥 ) + 𝐵 ( 𝑥 ) A(x)+B(x) Cộng từng hạng tử tương ứng: 𝐴 ( 𝑥 ) + 𝐵 ( 𝑥 ) = ( 2 𝑥 3 − 𝑥 2 + 3 𝑥 − 5 ) + ( 2 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 5 ) = ( 2 𝑥 3 + 2 𝑥 3 ) + ( − 𝑥 2 + 𝑥 2 ) + ( 3 𝑥 + 𝑥 ) + ( − 5 + 5 ) = 4 𝑥 3 + 0 𝑥 2 + 4 𝑥 + 0 = 4 𝑥 3 + 4 𝑥 A(x)+B(x) =(2x 3 −x 2 +3x−5)+(2x 3 +x 2 +x+5) =(2x 3 +2x 3 )+(−x 2 +x 2 )+(3x+x)+(−5+5) =4x 3 +0x 2 +4x+0 =4x 3 +4x Vậy: 𝐻 ( 𝑥 ) = 𝐴 ( 𝑥 ) + 𝐵 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 3 + 4 𝑥 H(x)=A(x)+B(x)=4x 3 +4x b) Tìm nghiệm của 𝐻 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 3 + 4 𝑥 H(x)=4x 3 +4x Ta giải phương trình: 4 𝑥 3 + 4 𝑥 = 0 ⇒ 4 𝑥 ( 𝑥 2 + 1 ) = 0 4x 3 +4x=0⇒4x(x 2 +1)=0 Phương trình này có nghiệm khi: 4 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 4x=0⇒x=0 𝑥 2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 2 = − 1 ⇒ 𝑥 = ± 𝑖 (nghiệm phức) x 2 +1=0⇒x 2 =−1⇒x=±i(nghiệm phức) Vậy nghiệm thực của 𝐻 ( 𝑥 ) H(x) là: 𝑥 = 0 x=0 Bạn có muốn tìm nghiệm phức đầy đủ hay chỉ quan tâm đến nghiệm thực?

Tổng số sách: 121 quyển Số sách lớp 7A và 7B tỉ lệ thuận với 5 : 6 Gọi số sách lớp 7A là: 5 𝑥 5x Gọi số sách lớp 7B là: 6 𝑥 6x Tổng số sách là: 5 𝑥 + 6 𝑥 = 11 𝑥 = 121 ⇒ 𝑥 = 121 11 = 11 5x+6x=11x=121⇒x= 11 121 =11 Vậy: Lớp 7A quyên góp: 5 × 11 = 55 5×11=55 quyển Lớp 7B quyên góp: 6 × 11 = 66 6×11=66 quyển Đáp số: Lớp 7A: 55 quyển Lớp 7B: 66 quyển