• a, Do $CP$ và $BQ$ là các đường phân giác trong của tam giác cân $ABC$, ta có:
  $$\angle BCP=\angle BCQ,\angle CBQ=\angle CBP$$
• Xét tam giác $OBC$, ta có:
  • $O$ nằm trên $CP$ và $BQ$, hai đường phân giác trong của $△ABC$.
  • Theo tính chất giao điểm hai đường phân giác trong, ta có $O$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.
  • Suy ra $O$ cách đều hai cạnh $BC$ và $BQ$, đồng thời $\angle OBC=\angle OCB$.
  • Do đó, $△OBC$ cân tại $O.$
  • $b,$
  • Vì $O$ là giao điểm của hai đường phân giác $CP$ và $BQ$, nó chính là tâm đường tròn nội tiếp của $△ABC$.
  • Tính chất của tâm đường tròn nội tiếp là điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.
  • Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC,BC$.
  • c, 
  • Do $△ABC$ cân tại $A$, nên đường phân giác $AO$ cũng là đường trung tuyến và đường cao.
  • Nghĩa là $AO$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$ và vuông góc với $BC$.
  • Vậy ta có $AO\perp BC$ và $M$ là trung điểm của $BC$.
  • d, 
  • Vì $△ABC$ cân tại $A$, nên hai góc đáy bằng nhau:
    $$\angle ABC=\angle ACB$$
  • Hai đường phân giác $CP$ và $BQ$ chia hai góc này thành các phần bằng nhau:
    $$\angle BCP=\angle BCQ,\angle CBQ=\angle CBP$$
  • Do đó, hai tam giác $△BCP$ và $△CBQ$ bằng nhau theo trường hợp $g.g.g$.
  • Suy ra 
    CP=BQ        
  • e, Ta đã chứng minh $CP=BQ$, nên hai tam giác $△BCP$ và $△CBQ$ bằng nhau.
  • Do đó, $\angle APQ=\angle AQP$, nghĩa là $△APQ$ cân tại A.
  • Kết luận: Tam giác $APQ$ cân tại $A$.

• a, Ta có: $OA=OC$ và $OB=OD$ theo giả thiết.
• Xét hai tam giác $△OAD$ và $△OCB$:
  • $OA=OC$ (giả thiết).
  • OD=OB (giả thiết).
  • $\angle AOD=\angle COB$ (đối đỉnh).
• Do đó $△OAD=△OCB$ (c.g.c).
• Suy ra $AD=BC$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
• b, 
• Xét hai tam giác $△ABE$ và $△CDE$:
  • $AD=BC$ (chứng minh trên).
  • $AB=CD$ (do $AB=OA-OB$, $CD=OC-OD$ mà $OA=OC$, $OB=OD$ nên $AB=CD$).
  • Hai góc $\angle ABE$ và $\angle CDE$ đối đỉnh, nên bằng nhau.
• Do đó, $△ABE=△CDE$ (c.g.c).
• c, 
• Vì $△ABE=△CDE$, suy ra $\angle ABE=\angle CDE$.
• Hai góc này là góc kề bù nhau với góc tại $O$, suy ra $OE$ chia $\angle xOy$ thành hai phần bằng nhau.
• Do đó, $OE$ là tia phân giác của $\angle xOy$.

a, Góc IOE = góc IOF = 90 độ (vì E và F là chân đường vuông góc kẻ từ I đến các tia Ox và Oy ).

Tia Om là tia phân giác của góc xOy nên góc IOE = góc IOF.

Xét hai tam giác vuông IOE và IOF có: 

IO chung

Góc IOE = góc IOF 

Suy ra: tam giác IOE = tam giác IOF (cạnh huyền - góc nhọn).

b, Ta có: tam giác IOE = tam giác IOF 

Suy ra: IE = IF ( 2 cạnh tương ứng ).

           Góc OIE = góc OIF ( 2 góc tương ứng ).

Suy ra: EF là một đường vuông góc với tia phân giác Om của góc xOy.

Kết luận: EF vuông góc với Om.

Ta có: ID là tia phân giác của góc ADC, nên I nằm trên phân giác góc này.

Vì H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên AB và BC, nên IH vuông góc với AB và IK vuông góc với BC.

Do đó, tứ giác IHIK là hình thang cân, vì có hai góc vuông tại H và K.

Vì ID là phân giác của góc ADC, nên nó cũng là trục đối xứng của tam giác IHK>

Do đó, hai đoạn IH và IK đối xứng nhau qua ID, suy ra IH = IK.

Vậy ta đã chứng minh được IH = IK.

Ta có: AD là tia phân giác của góc A và cắt BC tại trung điểm D, tức là BD = CD.

Tia phân giác AD vuông góc với BC nên AD vuông góc với BC.

DH vuông góc với AB và DK vuông góc với AC, do đó tam giác BDH và tam giác CDK là tam giác vuông tại H và K.

Vì BD = CD, góc BDH = góc CDK =  90 độ (do các đường vuông góc ), và tam giác BDH, tam giác CDK đối xứng qua phân giác AD, ta có BH = CK.

Kết luận: BH = CK