a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$

a)

Xét $\Delta AOD$ và $\Delta COB$ có: {OA=OC(gt)O^:chungOB=OD(gt)⎩⎨⎧​OA=OC(gt)O:chungOB=OD(gt)​

$\Rightarrow \Delta AOD=\Delta COB\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow AD=BC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\left(\text{đpcm}\right)$

b) 

Nối A với C

Ta có: {OA=OCOB=OD(gt)⇒OA−OB=OC−OD{OA=OCOB=OD​(gt)⇒OA−OB=OC−OD

Hay $AB=CD$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có: {AB=CD(cmt)AC:chungAD=BC(cmt)⎩⎨⎧​AB=CD(cmt)AC:chungAD=BC(cmt)​

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DCA\left(c.c.c\right)$

⇒ABC^=CDA^(2 goˊc tương ứng)⇒ABC=CDA(2 goˊc tương ứng)

Vì ΔAOD=ΔCOB(cmt)⇒A^=C^(2 goˊc tương ứng)ΔAOD=ΔCOB(cmt)⇒A=C(2 goˊc tương ứng)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CDE$ có: {ABC^=CDA^(cmt)AB=CD(cmt)A^=C^(cmt)⎩⎨⎧​ABC=CDA(cmt)AB=CD(cmt)A=C(cmt)​

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta CDE\left(g.c.g\right)\left(\text{đpcm}\right)$

c) Vì $\Delta ABE=\Delta CDE\left(cmt\right)\Rightarrow AE=CE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)$

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta COE$ có: {OA=OC(gt)A^=C^(cmt)AE=CE(cmt)⎩⎨⎧​OA=OC(gt)A=C(cmt)AE=CE(cmt)​

⇒ΔAOE=ΔCOE(c.g.c)⇒AOE^=COE^(2 goˊc tương ứng)⇒ΔAOE=ΔCOE(c.g.c)⇒AOE=COE(2 goˊc tương ứng)

$=>OE$ là phân giác của xOy^xOy​ (đpcm)

Vì Om là phân giác của xOy^xOy​

⇒IOE^=IOF^=12EOF^⇒IOE=IOF=21​EOF

Vì {IE⊥OxIF⊥Oy(gt)⇒IEO^=IFO^=90o{IE⊥OxIF⊥Oy​(gt)⇒IEO=IFO=90o

Xét $\Delta IOE$ và $\Delta IOF$ có: {IEO^=IFO^(=90o)OI:chungIOE^=IOF^(cmt)⎩⎨⎧​IEO=IFO(=90o)OI:chungIOE=IOF(cmt)​

$\Rightarrow \Delta IOE=\Delta IOF\left(\text{cạnh huyeˆˋn - goˊc nhọn}\right)$

b) Vì $\Delta IOE=\Delta IOF\left(cmt\right)\Rightarrow OE=OF\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)$

Xét $\Delta EOF$ có: $OE=OF\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta EOF$ cân ở O

⇒OEF^=OFE^⇒OEF=OFE

Xét $\Delta EOF$ có:

EOF^+OFE^+OEF^=180oEOF+OFE+OEF=180o

⇒2EOI^+2OEF^=180o⇒EOI^+OEF^=90o⇒2EOI+2OEF=180o⇒EOI+OEF=90o

Gọi $EF\cap OI\equiv M$

Xét $\Delta OME$ có: 

OEF^+EOI^+OME^=180o⇒90o+OME^=180o⇒OME^=180o−90o=90o⇒EF⊥Om(đpcm)OEF+EOI+OME=180o⇒90o+OME=180o⇒OME=180o−90o=90o⇒EF⊥Om(đpcm)

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21​BAC=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^DAx

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì $DI$ là phân giác của ���^ADC nên $IK=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và $(4)$ suy ra $IH=IK$.

Ta có $D$ thuộc phân giác của �^A;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘BGD=CGD=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘BHD=CKD=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng).