a, BQ là đường phân giác của góc B 

=> B1^=B2^=12B^B1​​=B2​​=21​B ( 1 )

CP là đường phân giác của góc C 

=> C1^=C2^=12C^C1​​=C2​​=21​C ( 2 )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > B^=C^B=C ( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) = > B1^=B2^=C1^=C2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​

Xét tam giác OBC có : 

B2^=C2^B2​​=C2​​ ( cmt )

= > Tam giác OBC cân tại O

b, Do O là giao của 2 đường phân giác BQ và CP của tam giác ABC 

nên O là trực tâm của tam giác ABC hay điểm O cách đều 3 cạnh AB,AC, BC của tam giác ABC 

c, Do O là trực tâm của tam giác ABC ( câu b, )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > AO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC tức là AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC 

d, Xét $\Delta QBC$ và $\Delta PCB$ có :

B2^=C2^(cmt)B2​​=C2​​(cmt)

BC chung 

B^=C^(gt)B=C(gt)

=> $\Delta QBC=\Delta PCB\left(g-c-g\right)$

= > CP = BQ ( 2 cạnh tương ứng )

e, Do tam giác QBC = tam giác PCB ( câu d, )

=> BP = CQ ( 2 cạnh tương ứng )

$P\in AB$

= > AP + PB = AB 

= > AP = AB - PB ( 4 )

$Q\in AC$

= > AQ + QC =AC

= > AQ = AC - QC ( 5 ) 

Từ ( 4 ) , ( 5 ) 

= > AP = AQ

Xét tam giác APQ có :

AP = AQ ( cmt ) 

= > Tam giác APQ cân tại A ( đpcm )

a)

Xét $\Delta AOD$ và $\Delta COB$ có: {OA=OC(gt)O^:chungOB=OD(gt)⎩⎨⎧​OA=OC(gt)O:chungOB=OD(gt)​

$\Rightarrow \Delta AOD=\Delta COB\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow AD=BC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\left(\text{đpcm}\right)$

b) 

Nối A với C

Ta có: {OA=OCOB=OD(gt)⇒OA−OB=OC−OD{OA=OCOB=OD​(gt)⇒OA−OB=OC−OD

Hay $AB=CD$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có: {AB=CD(cmt)AC:chungAD=BC(cmt)⎩⎨⎧​AB=CD(cmt)AC:chungAD=BC(cmt)​

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DCA\left(c.c.c\right)$

⇒ABC^=CDA^(2 goˊc tương ứng)⇒ABC=CDA(2 goˊc tương ứng)

Vì ΔAOD=ΔCOB(cmt)⇒A^=C^(2 goˊc tương ứng)ΔAOD=ΔCOB(cmt)⇒A=C(2 goˊc tương ứng)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CDE$ có: {ABC^=CDA^(cmt)AB=CD(cmt)A^=C^(cmt)⎩⎨⎧​ABC=CDA(cmt)AB=CD(cmt)A=C(cmt)​

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta CDE\left(g.c.g\right)\left(\text{đpcm}\right)$

c) Vì $\Delta ABE=\Delta CDE\left(cmt\right)\Rightarrow AE=CE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)$

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta COE$ có: {OA=OC(gt)A^=C^(cmt)AE=CE(cmt)⎩⎨⎧​OA=OC(gt)A=C(cmt)AE=CE(cmt)​

⇒ΔAOE=ΔCOE(c.g.c)⇒AOE^=COE^(2 goˊc tương ứng)⇒ΔAOE=ΔCOE(c.g.c)⇒AOE=COE(2 goˊc tương ứng)

$=>OE$ là phân giác của xOy^xOy​ (đpcm)