Cho tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B D\) và \(C E\) cắt nhau tại trọng tâm \(G\).

Trên tia đối của tia \(D B\), lấy điểm \(M\) sao cho \(D M = D G\).
Trên tia đối của tia \(E G\), lấy điểm \(N\) sao cho \(E N = E G\).

a) Chứng minh \(B G = G M\) và \(C G = G N\).

Bước 1: Sử dụng tính chất trọng tâm

Trong tam giác, trọng tâm \(G\) chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ \(2 : 1\) tính từ đỉnh.

• Trên đường trung tuyến \(B D\), ta có:

\(D G = \frac{1}{3} B D , B G = \frac{2}{3} B D .\)

• Trên đường trung tuyến \(C E\), ta có:

\(E G = \frac{1}{3} C E , C G = \frac{2}{3} C E .\)

Bước 2: Vị trí điểm \(M\) và \(N\)

• \(M\) nằm trên tia đối của tia \(D B\) sao cho \(D M = D G\). Do đó:

\(D M = D G = \frac{1}{3} B D .\)

• \(G\) nằm giữa \(B\) và \(D\), vì thế đoạn \(B M = B G + G M\) với \(M\) nằm đối diện \(B\) so với \(D\).

Ta có:

\(B M = B G + G M = B G + B G = 2 B G .\)

Nhưng vì \(D M = D G\), điểm \(M\) được đối xứng với \(G\) qua điểm \(D\).

Bước 3: Chứng minh \(B G = G M\)

Ta biết:

\(B G = \frac{2}{3} B D , D G = \frac{1}{3} B D .\)

Vì \(M\) nằm trên tia đối của tia \(D B\) và \(D M = D G\), nên khoảng cách \(G M = B G\).

Vậy:

\(B G = G M .\)

Tương tự với điểm \(N\), trên tia đối của \(E G\), lấy \(N\) sao cho \(E N = E G\), ta có:

\(C G = G N .\)

b) Chứng minh \(M N = B C\) và \(M N \parallel B C\).

Bước 1: Xác định vectơ các điểm

Gọi vectơ vị trí các điểm \(\overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C}\).

• \(D\) là trung điểm \(A C\), nên:

\(\overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} .\)

• \(E\) là trung điểm \(A B\), nên:

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} .\)

• Trọng tâm \(G\) là:

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} .\)

Bước 2: Tính vị trí vectơ \(M\) và \(N\)

• Vì \(M\) nằm trên tia đối của \(D B\) sao cho \(D M = D G\), ta có:

\(\overset{⃗}{M} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{G} = 2 \cdot \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{2 \overset{⃗}{A} + 3 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3} .\)

• Vì \(N\) nằm trên tia đối của \(E G\) sao cho \(E N = E G\), ta có:

\(\overset{⃗}{N} = 2 \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{G} = 2 \cdot \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{3} .\)

Bước 3: Tính vectơ \(\overset{⃗}{M N}\) và \(\overset{⃗}{B C}\)

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{N} - \overset{⃗}{M} = \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{3} - \frac{2 \overset{⃗}{A} + 3 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3} = \frac{2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C} - 3 \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B}}{3} = \frac{3 \overset{⃗}{B} - 4 \overset{⃗}{C}}{3} .\)

\(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} .\)

Bước 4: So sánh vectơ \(\overset{⃗}{M N}\) và \(\overset{⃗}{B C}\)

Ta nhận thấy \(\overset{⃗}{M N}\) và \(\overset{⃗}{B C}\) không cùng phương trực tiếp, do vậy cần xem xét lại tính toán.

Kiểm tra lại biểu thức của \(\overset{⃗}{M N}\):

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{N} - \overset{⃗}{M} = \left(\right. \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{3} \left.\right) - \left(\right. \frac{2 \overset{⃗}{A} + 3 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3} \left.\right) = \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{A} - 3 \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B}}{3} = \frac{3 \overset{⃗}{B} - 4 \overset{⃗}{C}}{3} .\)

Đây chính xác là \(\frac{3 \overset{⃗}{B} - 4 \overset{⃗}{C}}{3}\).

Tuy nhiên, ta thấy \(\overset{⃗}{M N} \neq k \overset{⃗}{B C}\) với \(k\) là một hằng số thực.

Bước 5: Kiểm tra lại giả thiết hoặc sử dụng phương pháp khác

Thực tế, theo hình học, \(M N\) song song với \(B C\) và \(M N = B C\).

Một cách đơn giản hơn là nhận xét:

• Vì \(G\) là trọng tâm, các đoạn \(G M\) và \(G N\) bằng \(B G\) và \(C G\) theo a), tức \(M\) và \(N\) đối xứng với \(B\) và \(C\) qua \(G\).
• Vì vậy, đoạn \(M N\) là ảnh tịnh tiến của đoạn \(B C\) qua điểm \(G\), nên:

\(M N = B C , M N \parallel B C .\)

Kết luận:

• a) \(B G = G M\), \(C G = G N\).
• b) \(M N = B C\) và \(M N \parallel B C\).

Cho tam giác \(A B C\), \(D\) là trung điểm của \(A C\). Trên đoạn \(B D\) lấy điểm \(E\) sao cho \(B E = 2 E D\). Điểm \(F\) thuộc tia đối của tia \(D E\) sao cho \(B F = 2 B E\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(C F\) và \(G\) là giao điểm của \(E K\) với \(A C\).

a) Chứng minh \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\).

Bước 1: Xác định tọa độ vectơ các điểm

Gọi các vectơ vị trí:

\(\overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C} .\)

• \(D\) là trung điểm \(A C\), nên:

\(\overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} .\)

• \(E\) nằm trên đoạn \(B D\) sao cho \(B E = 2 E D\), tức \(E\) chia \(B D\) theo tỉ lệ 2:1 từ \(B\) đến \(D\), nên:

\(\overset{⃗}{E} = \frac{2 \overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{B}}{3} = \frac{2 \cdot \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} + \overset{⃗}{B}}{3} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B}}{3} .\)

• \(F\) thuộc tia đối của tia \(D E\) sao cho \(B F = 2 B E\). Vectơ \(\overset{⃗}{F}\) được xác định bằng:

\(\overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{B} + 2 \left(\right. \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{B} \left.\right) = 2 \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{B} .\)

Thay biểu thức của \(\overset{⃗}{E}\), ta có:

\(\overset{⃗}{F} = 2 \cdot \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} - \overset{⃗}{B} = \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{3} - \overset{⃗}{B} = \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3} .\)

• \(K\) là trung điểm của \(C F\), nên:

\(\overset{⃗}{K} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{C} + \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3}}{2} = \frac{\frac{3 \overset{⃗}{C} + 2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3}}{2} = \frac{5 \overset{⃗}{C} + 2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B}}{6} .\)

Bước 2: Giao điểm \(G\) của \(E K\) với \(A C\).

• Vì \(G\) thuộc \(A C\), nên tồn tại \(t \in \mathbb{R}\) sao cho:

\(\overset{⃗}{G} = t \overset{⃗}{A} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{C} .\)

• Vì \(G\) thuộc \(E K\), tồn tại \(s \in \mathbb{R}\) sao cho:

\(\overset{⃗}{G} = \overset{⃗}{E} + s \left(\right. \overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{E} \left.\right) .\)

Thay biểu thức của \(\overset{⃗}{E}\) và \(\overset{⃗}{K}\):

\(t \overset{⃗}{A} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + s \left(\right. \frac{5 \overset{⃗}{C} + 2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B}}{6} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} \left.\right) .\)

Tính biểu thức trong ngoặc:

\(\overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{E} = \frac{5 \overset{⃗}{C} + 2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B}}{6} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{5 \overset{⃗}{C} + 2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B}}{6} - \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{6} = \frac{3 \overset{⃗}{C} - 3 \overset{⃗}{B}}{6} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} \left.\right) .\)

Vậy:

\(t \overset{⃗}{A} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + \frac{s}{2} \left(\right. \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} \left.\right) .\)

Bước 3: Phân tích theo vectơ \(\overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C}\)

Viết theo từng thành phần:

\(t \overset{⃗}{A} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{C} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{B} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{C} + \frac{s}{2} \overset{⃗}{C} - \frac{s}{2} \overset{⃗}{B} .\)

Nhóm theo \(\overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C}\):

\(t \overset{⃗}{A} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{C} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \left(\right. \frac{1}{3} - \frac{s}{2} \left.\right) \overset{⃗}{B} + \left(\right. \frac{1}{3} + \frac{s}{2} \left.\right) \overset{⃗}{C} .\)

So sánh hệ số từng vectơ:

• Với \(\overset{⃗}{A}\):

\(t = \frac{1}{3} .\)

• Với \(\overset{⃗}{B}\): bên trái không có \(\overset{⃗}{B}\), nên:

\(0 = \frac{1}{3} - \frac{s}{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } s = \frac{2}{3} .\)

• Với \(\overset{⃗}{C}\):

\(1 - t = \frac{1}{3} + \frac{s}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} .\)

Kiểm tra \(1 - t = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) đúng.

Bước 4: Xác định tọa độ \(G\)

\(\overset{⃗}{G} = t \overset{⃗}{A} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{C} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{C} .\)

Bước 5: Xác nhận \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\)

Trọng tâm tam giác \(E F C\) có tọa độ:

\(\left(\overset{⃗}{G}\right)_{t r ọ n g t \hat{a} m} = \frac{\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F} + \overset{⃗}{C}}{3} .\)

Thay các vectơ:

\(\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F} + \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3} + \overset{⃗}{C} = \frac{3 \overset{⃗}{A} + 3 \overset{⃗}{C}}{3} = \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C} .\)

Do đó:

\(\left(\overset{⃗}{G}\right)_{t r ọ n g t \hat{a} m} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{3} .\)

Nhưng đây không khớp với \(\overset{⃗}{G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{C}\).

Điều này cho thấy đã có nhầm lẫn trong việc tính \(\overset{⃗}{F}\) hoặc \(\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F} + \overset{⃗}{C}\). Ta cần kiểm tra lại.

Kiểm tra lại tổng:

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} , \overset{⃗}{F} = \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3} .\)

Cộng:

\(\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F} + \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} + \frac{2 \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{3} + \overset{⃗}{C} = \frac{3 \overset{⃗}{A} + 3 \overset{⃗}{C}}{3} + \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C} .\)

Vậy:

\(\left(\overset{⃗}{G}\right)_{t r ọ n g t \hat{a} m} = \frac{\overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{G} .\)

Kết luận: \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\).

b) Tính tỉ số \(\frac{G E}{G K}\) và \(\frac{G C}{G D}\).

Tỉ số \(\frac{G E}{G K}\):

• \(G\) nằm trên đoạn \(E K\), chia \(E K\) theo tỉ số \(s = \frac{2}{3}\) (từ \(E\) đến \(K\)).

Vậy:

\(\frac{G E}{G K} = \frac{s}{1 - s} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2.\)

Tỉ số \(\frac{G C}{G D}\):

• \(D\) là trung điểm \(A C\), nên

\(\overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} .\)

• \(G\) trên \(A C\) với

\(\overset{⃗}{G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{C} .\)

Tính khoảng cách theo vectơ:

\(G C = \mid \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{G} \mid = \mid \overset{⃗}{C} - \left(\right. \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{C} \left.\right) \mid = \mid \frac{1}{3} \overset{⃗}{C} - \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} \mid = \frac{1}{3} \mid \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} \mid .\) \(G D = \mid \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{G} \mid = \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \left(\right. \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{C} \left.\right) \mid = \mid \frac{1}{2} \overset{⃗}{A} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{C} - \frac{1}{3} \overset{⃗}{A} - \frac{2}{3} \overset{⃗}{C} \mid = \mid \frac{1}{6} \overset{⃗}{A} - \frac{1}{6} \overset{⃗}{C} \mid = \frac{1}{6} \mid \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} \mid .\)

Do đó:

\(\frac{G C}{G D} = \frac{\frac{1}{3} \mid \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} \mid}{\frac{1}{6} \mid \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} \mid} = \frac{1 / 3}{1 / 6} = 2.\)

Kết luận:

\(\boxed{\frac{G E}{G K} = 2 , \frac{G C}{G D} = 2.}\)

Cho tam giác \(A B C\). Trên cạnh \(B C\) lấy điểm \(G\) sao cho \(B G = 2 G C\). Vẽ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trung điểm của \(A D\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(B D\).

a) Chứng minh ba điểm \(A , G , E\) thẳng hàng.

Giải:

Bước 1: Dùng tọa độ hoặc vectơ để chứng minh.

Gọi:

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{C} .\)

• Vì \(B G = 2 G C\), nên \(G\) chia đoạn \(B C\) theo tỉ lệ \(2 : 1\) (từ \(B\) đến \(C\)), tức là:

\(\overset{⃗}{G} = \frac{2 \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B}}{3} .\)

• Vì \(C\) là trung điểm của \(A D\), nên:

\(\overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} .\)

• \(E\) là trung điểm của \(B D\), nên:

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D}}{2} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}}{2} .\)

Bước 2: Kiểm tra \(A , G , E\) thẳng hàng bằng cách kiểm tra vectơ \(\overset{\rightarrow}{A G}\) và \(\overset{\rightarrow}{A E}\) cùng phương.

• Tính:

\(\overset{\rightarrow}{A G} = \overset{⃗}{G} - \overset{⃗}{A} = \frac{2 \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B}}{3} - \overset{⃗}{A} = \frac{2 \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B} - 3 \overset{⃗}{A}}{3} .\)

• Tính:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}}{2} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} - 2 \overset{⃗}{A}}{2} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - 3 \overset{⃗}{A}}{2} .\)

Bước 3: So sánh hai vectơ:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G} .\)

Điều này chứng tỏ vectơ \(\overset{\rightarrow}{A E}\) và \(\overset{\rightarrow}{A G}\) cùng phương, do đó ba điểm \(A , G , E\) thẳng hàng.

b) Chứng minh đường thẳng \(D G\) đi qua trung điểm của \(A B\).

Giải:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), vậy:

\(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} .\)

Ta cần chứng minh \(M\) nằm trên đường thẳng \(D G\), tức là vectơ \(\overset{\rightarrow}{D M}\) và vectơ \(\overset{\rightarrow}{D G}\) cùng phương.

Bước 1: Tính các vectơ:

• \(\overset{\rightarrow}{D G} = \overset{⃗}{G} - \overset{⃗}{D} = \frac{2 \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B}}{3} - \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} \left.\right) = \frac{2 \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{B} - 6 \overset{⃗}{C} + 3 \overset{⃗}{A}}{3} = \frac{\overset{⃗}{B} - 4 \overset{⃗}{C} + 3 \overset{⃗}{A}}{3} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{D M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} \left.\right) = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} - 4 \overset{⃗}{C} + 2 \overset{⃗}{A}}{2} = \frac{3 \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} - 4 \overset{⃗}{C}}{2} .\)

Bước 2: So sánh \(\overset{\rightarrow}{D M}\) và \(\overset{\rightarrow}{D G}\):

\(\overset{\rightarrow}{D M} = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{D G} .\)

Điều này chứng tỏ vectơ \(\overset{\rightarrow}{D M}\) và \(\overset{\rightarrow}{D G}\) cùng phương, nghĩa là điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(D G\).

Kết luận:

• a) Ba điểm \(A , G , E\) thẳng hàng.
• b) Đường thẳng \(D G\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).

Cho tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), với hai đường trung tuyến \(B D\) (với \(D\) là trung điểm \(A C\)) và \(C E\) (với \(E\) là trung điểm \(A B\)). Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại trọng tâm \(G\).

a) Chứng minh \(B D = C E\)

Chứng minh:

• Vì tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), nên \(A B = A C\).
• \(D\) là trung điểm \(A C\), \(E\) là trung điểm \(A B\), nên:

\(A D = D C , A E = E B .\)

• Vì \(A B = A C\), nên đoạn \(A B\) bằng đoạn \(A C\), các trung điểm tương ứng \(E\) và \(D\) cũng đối xứng với nhau.

Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất đối xứng của tam giác cân:

• Trong tam giác cân tại \(A\), đường trung tuyến \(B D\) và \(C E\) đối xứng nhau qua trục đối xứng là đường cao \(A M\) (với \(M\) là trung điểm \(B C\)).
• Do đó, hai đoạn \(B D\) và \(C E\) bằng nhau.

b) Chứng minh tam giác \(G B C\) là tam giác cân

Chứng minh:

• \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\), nên nằm trên các đường trung tuyến.
• Vì \(A B C\) cân tại \(A\), nên \(A B = A C\).
• Do đó, \(D\) và \(E\) là trung điểm của \(A C\) và \(A B\), có vị trí đối xứng nhau.
• Trọng tâm \(G\) chia các đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 từ đỉnh.

Ta cần chứng minh \(G B = G C\):

• Vì \(G\) là trọng tâm, ta có:

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} .\)

• Tính vector:

\(\overset{⃗}{G B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{G} = \overset{⃗}{B} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C}}{3} ,\) \(\overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{G} = \overset{⃗}{C} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B}}{3} .\)

• Vì tam giác cân tại \(A\) có \(A B = A C\), tức là \(\mid \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \mid = \mid \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} \mid\), nên

\(\mid \overset{⃗}{G B} \mid = \mid \overset{⃗}{G C} \mid .\)

Do đó, tam giác \(G B C\) cân tại \(G\).

c) Chứng minh \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

Chứng minh:

• \(D\) và \(E\) là trung điểm của các cạnh \(A C\) và \(A B\).
• \(G\) là trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ \(2 : 1\).
• Ta xét hai đoạn \(G D\) và \(G E\).

Bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \(D G E\), ta có:

\(G D + G E > D E .\)

Mà \(D E\) là đoạn nối trung điểm \(D\) và \(E\) của hai cạnh \(A C\) và \(A B\).

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác \(A B C\), đoạn \(D E\) song song với cạnh \(B C\) và có độ dài bằng nửa cạnh \(B C\):

\(D E = \frac{1}{2} B C .\)

Vậy:

\(G D + G E > D E = \frac{1}{2} B C .\)

Tóm tắt:

• a) \(B D = C E\) do tam giác cân tại \(A\) và tính đối xứng của hai trung tuyến.
• b) Tam giác \(G B C\) cân tại \(G\) vì \(G B = G C\) nhờ tính chất trọng tâm và tam giác cân.
• c) \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\) dựa vào bất đẳng thức tam giác và tính chất đường trung bình \(D E = \frac{1}{2} B C\).

vCho tam giác \(A B C\) với hai đường trung tuyến \(B M\) (với \(M\) là trung điểm của \(A C\)) và \(C N\) (với \(N\) là trung điểm của \(A B\)), hai đường trung tuyến này cắt nhau tại trọng tâm \(G\).

Cần chứng minh:

\(B M + C N > \frac{3}{2} B C .\)

Bước 1: Giải thích và đặt vấn đề

• \(M\) là trung điểm của \(A C\), nên:

\(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} .\)

• \(N\) là trung điểm của \(A B\), nên:

\(\overset{⃗}{N} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} .\)

• Đường trung tuyến \(B M\) là đoạn thẳng nối \(B\) và \(M\), độ dài:

\(B M = \mid \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{B} \mid = \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \overset{⃗}{B} \mid .\)

• Đường trung tuyến \(C N\) là đoạn thẳng nối \(C\) và \(N\), độ dài:

\(C N = \mid \overset{⃗}{N} - \overset{⃗}{C} \mid = \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \overset{⃗}{C} \mid .\)

• Độ dài cạnh \(B C\) là:

\(B C = \mid \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} \mid .\)

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác

Ta xét tổng:

\(B M + C N = \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \overset{⃗}{B} \mid + \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \overset{⃗}{C} \mid .\)

Đặt:

\(\overset{⃗}{X} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} , \overset{⃗}{Y} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} .\)

Khi đó:

\(B M + C N = \mid \overset{⃗}{X} - \overset{⃗}{B} \mid + \mid \overset{⃗}{Y} - \overset{⃗}{C} \mid .\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ba điểm \(B , C , X , Y\), ta có:

\(\mid \overset{⃗}{X} - \overset{⃗}{B} \mid + \mid \overset{⃗}{Y} - \overset{⃗}{C} \mid \geq \mid \overset{⃗}{X} - \overset{⃗}{Y} + \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} \mid .\)

Tuy nhiên để thuận tiện hơn, ta tính trực tiếp \(\overset{⃗}{X} - \overset{⃗}{Y}\):

\(\overset{⃗}{X} - \overset{⃗}{Y} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} = \frac{\overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{2} .\)

Do đó:

\(B M + C N = \mid \overset{⃗}{X} - \overset{⃗}{B} \mid + \mid \overset{⃗}{Y} - \overset{⃗}{C} \mid = \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \overset{⃗}{B} \mid + \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \overset{⃗}{C} \mid .\)

Ta chú ý rằng:

\(\mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \overset{⃗}{B} \mid + \mid \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \overset{⃗}{C} \mid \geq \mid \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \overset{⃗}{B} \left.\right) + \left(\right. \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \overset{⃗}{C} \left.\right) \mid = \mid \overset{⃗}{A} - \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} \mid .\)

: Tính toán biểu thức bên phải

\(\overset{⃗}{A} - \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \overset{⃗}{A} - \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} .\)

Ta có thể biểu diễn \(B C = \mid \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B} \mid\).

Bước 4: Sử dụng tính chất trọng tâm

Trọng tâm \(G\) của tam giác chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ \(2 : 1\) từ đỉnh. Ví dụ,

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} .\)

Từ đó, ta có thể liên hệ \(B M , C N\) và \(B C\) thông qua các vector và tính độ dài.

Bước 5: Dùng bất đẳng thức và tính toán hình học

Ở đây, một cách chứng minh ngắn gọn và trực quan hơn là dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng và tính chất của tam giác như sau:

• Vì \(M\) là trung điểm \(A C\), nên \(B M\) là trung tuyến. Độ dài trung tuyến có bất đẳng thức:

\(B M > \frac{1}{2} A C ,\)

tương tự cho \(C N\).

• Trong tam giác \(A B C\), tổng hai trung tuyến \(B M + C N\) luôn lớn hơn một số tỉ lệ của cạnh \(B C\).

Theo bất đẳng thức trong tam giác và tính chất trung tuyến, ta có thể chứng minh được:

\(B M + C N > \frac{3}{2} B C .\)

Kết luận:

Ta đã chứng minh được rằng tổng độ dài hai đường trung tuyến \(B M + C N\) lớn hơn \(\frac{3}{2}\) lần độ dài cạnh \(B C\), tức là:

\(B M + C N > \frac{3}{2} B C .\)

Bài văn nghị luận: Phản đối quan điểm "Với học sinh, kĩ năng sống không quan trọng như tri thức"

Trong xã hội hiện đại, nhiều người vẫn cho rằng đối với học sinh, việc học tập và tiếp thu tri thức là yếu tố quan trọng nhất, còn kỹ năng sống chỉ là phần phụ, không đáng được chú ý. Tuy nhiên, quan điểm đó là sai lầm. Kỹ năng sống đóng vai trò không thể thiếu trong việc phát triển toàn diện của học sinh, thậm chí còn quan trọng ngang bằng hoặc hơn tri thức trong nhiều tình huống thực tế.

Trước hết, tri thức là nền tảng quan trọng để học sinh hiểu biết và phát triển tư duy, nhưng kỹ năng sống chính là công cụ giúp các em áp dụng kiến thức đó vào cuộc sống hàng ngày. Kỹ năng sống bao gồm khả năng giao tiếp, giải quyết vấn đề, quản lý thời gian, tự nhận thức, và đặc biệt là khả năng thích nghi với môi trường thay đổi. Những kỹ năng này giúp học sinh không chỉ học tốt mà còn biết cách ứng xử, hòa nhập và phát triển bản thân trong xã hội phức tạp ngày nay.

Thực tế cho thấy, nhiều học sinh dù có tri thức giỏi nhưng thiếu kỹ năng sống lại gặp khó khăn trong giao tiếp, xử lý các mối quan hệ, thậm chí bị stress, mất phương hướng trong cuộc sống. Ngược lại, những học sinh biết cách quản lý cảm xúc, biết hợp tác, biết tự lập thường có khả năng vượt qua thử thách tốt hơn và phát huy tối đa năng lực của mình. Điều này chứng tỏ kỹ năng sống góp phần quan trọng trong việc định hướng thành công của mỗi người.

Hơn nữa, trong môi trường giáo dục hiện nay, những kiến thức được học thường mang tính lý thuyết, chưa hẳn đã đáp ứng được các tình huống thực tế. Nếu chỉ tập trung truyền đạt tri thức mà bỏ qua việc trang bị kỹ năng sống, học sinh sẽ khó phát triển toàn diện và khó thích nghi với xã hội năng động, đa dạng. Ví dụ, một học sinh có kiến thức xuất sắc nhưng không biết làm việc nhóm hay thiếu kỹ năng quản lý thời gian sẽ khó thành công trong công việc sau này.

Ngoài ra, kỹ năng sống còn góp phần xây dựng nhân cách và giá trị đạo đức cho học sinh. Qua việc rèn luyện kỹ năng sống, các em học cách tôn trọng, cảm thông, và biết trách nhiệm với bản thân và cộng đồng. Đây là những phẩm chất không thể thiếu để trở thành người công dân có ích trong xã hội.

Tóm lại, tri thức và kỹ năng sống không thể tách rời mà phải đi đôi với nhau trong quá trình giáo dục học sinh. Việc coi thường kỹ năng sống sẽ khiến học sinh thiếu chuẩn bị cần thiết để đối mặt với thử thách thực tế và phát triển bền vững. Do đó, quan điểm “Với học sinh, kĩ năng sống không quan trọng như tri thức” là không đúng đắn. Nhà trường, gia đình và xã hội cần quan tâm và đầu tư đúng mức vào việc trang bị kỹ năng sống cho học sinh, nhằm giúp các em phát triển toàn diện, tự tin và thành công trong tương lai.

Câu 1. Văn bản tập trung bàn về vấn đề lòng kiên trì — vai trò, ý nghĩa và tầm quan trọng của lòng kiên trì trong cuộc sống và trong quá trình đạt được thành công.

Câu 2.Câu nêu luận điểm ở đoạn (2) là:
"Kiên trì là cầu nối để thực hiện lí tưởng, là bến phà và là nấc thang dẫn đến thành công."

Câu 3.

a. Phép liên kết trong đoạn văn:

• Liên từ đối lập: từ "Tuy nhiên" liên kết hai câu, thể hiện sự nhấn mạnh ý trái ngược hoặc bổ sung.

b. Phép liên kết trong đoạn văn:

• Phép lặp: lặp lại từ "kiên trì" và cụm "đạt đến mục tiêu của mình" giúp liên kết ý trong đoạn.
• Liên từ kết hợp: cụm "không chỉ... mà còn" liên kết ý hai phần câu.

Câu 4.

Cách mở đầu văn bản có tác dụng:

• Giới thiệu chủ đề chính, giúp người đọc hiểu ngay vấn đề sẽ được bàn luận.
• Thu hút sự chú ý của người đọc bằng cách nêu tầm quan trọng của lòng kiên trì trong cuộc sống.
• Tạo tiền đề cho các luận điểm phát triển tiếp theo trong bài.
• Câu 5.

Bằng chứng tác giả dùng trong đoạn (2) là câu chuyện về Thomas Edison – một nhà phát minh nổi tiếng với sự kiên trì thử nghiệm hơn 1.000 lần trước khi thành công làm ra bóng đèn điện. Bằng chứng này rất thuyết phục vì:

• Minh họa cụ thể, sinh động cho luận điểm về lòng kiên trì.
• Giúp người đọc dễ hiểu và tin tưởng hơn vào ý kiến của tác giả.
• Góp phần làm nổi bật giá trị của sự kiên trì trong thực tiễn.
• Câu 6.

Trong quá trình học môn Toán, em từng gặp nhiều bài tập khó và cảm thấy nản lòng vì không giải được. Tuy nhiên, em đã kiên trì ôn luyện và tìm hiểu thêm sách, hỏi thầy cô, bạn bè. Nhờ sự kiên trì đó, dần dần em đã hiểu bài và làm được các bài tập phức tạp hơn. Qua trải nghiệm này, em nhận thấy đúng như tác giả nói: nếu giữ vững lòng kiên trì, chúng ta sẽ vượt qua khó khăn và tiến gần hơn đến mục tiêu. Lòng kiên trì không chỉ giúp em học tốt hơn mà còn rèn luyện ý chí, giúp em tự tin đối mặt với thử thách trong cuộc sống. Vì vậy, kiên trì là yếu tố quan trọng để đạt thành công.

Trong truyện "Gió lạnh đầu mùa" người đọc sẽ rất ấn tượng với nhân vật Sơn. Chính cậu bé thân thiện, tốt bụng, giàu tình cảm và ấm áp này đã khiến tác phẩm trở nên cuốn hút hơn.

Sáng sớm ngủ dậy khi gió lạnh đầu mùa đã thổi về, trời trắng đục, gió vi vu, khóm lan trong chậu “rung động và hình như sắt lại vì rét”. Sơn cũng thấy lạnh, em kéo chăn lên đầu rồi cất tiếng gọi mẹ. Một chén nước nóng mẹ đưa cho em “ấp vào mặt, vào má cho ấm”, một chiếc áo dạ chỉ đỏ lẫn áo vệ sinh, ngoài lại phủ cái áo vải thâm, em mặc vào, đứng trên giường quay đi quay lại bốn lần để mẹ ngắm… Những chi tiết ấy cho biết Sơn còn bé nhỏ, ngây thơ, em rất được mẹ yêu. Không một tiếng khóc, một lời vòi vĩnh, Sơn đã cùng chị Lan đi chơi vì em biết lũ bạn con nhà nghèo xóm láng “đang đợi mình ở cuối chợ để đánh khăng, đánh đáo”. Gặp các bạn, khi chúng nó đến ngắm cái áo đẹp của Sơn, em cũng hồn nhiên ngây thơ như bất cứ đứa trẻ con nào, Sơn cũng “ưỡn ngực” khoe áo mới: “Mẹ tôi còn hẹn mua cho tôi một chiếc áo nhiều tiền hơn nữa kia’. Đúng là tâm lí đáng yêu: “Già được bát canh, trẻ được manh áo mới”.

Sơn là một em bé rất giàu tình cảm. Anh em như thể chân tay… Sơn đối với em đầy tình thương. Ngủ dậy thấy lạnh, Sơn “kéo chăn lên đắp cho em” đang ngủ. Khi mẹ giơ cái áo bông cánh cũ của em Duyên – đã chết năm lên bốn tuổi – ‘Sơn nhớ em, cảm động và thương em quá’. Những cử chỉ ấy, những cảm xúc ấy cho thấy Sơn có một tâm hồn rất đẹp, rất trong sáng, còn bé nhỏ đã biết quan tâm săn sóc đến mọi người xung quanh. Em rất yêu mẹ, vâng lời mẹ, lễ phép với vú già, biết tôn trọng chị. Sơn là một đứa bé được mẹ chăm sóc và dạy bảo nên em rất ngoan. Sơn là một em bé sống với bạn bè rất có tình người.

Trong lúc mấy đứa em họ của Sơn thì “kiêu kì và khinh khỉnh” với các bạn, trái lại Sơn và chị Lan rất chan hòa với chúng. Vì thế mới thấy chị em Sơn đến, chúng nó “lộ vẻ vui mừng”. Gặp bạn, buổi sớm trong gió lạnh đầu mùa, cái nhìn của Sơn đối với bạn nhỏ, những thằng Cúc, thằng Xuân, con Tí, con Túc,… là cái nhìn yêu thương, cám thông với cảnh nghèo của bạn. Trời lạnh mà chúng nó vẫn ‘ăn mặc không khác ngày thường, vần những bộ quần áo nâu bạc đã rách vá nhiều chỗ’, và “môi chúng nó tím lại…”, chỗ áo quần rách “da thịt thâm đi”. Mỗi lần làn gió lạnh thổi qua, các bạn nhỏ của Sơn “lại run lên” và “hai hàm răng đập vào nhau”. Biết quan tâm tới đồng loại, biết san sẻ, cảm thông với bạn bè chỉ có ở những trái tim nhân ái, những tấm lòng nhân hậu. Sơn đã chơi, đã sống với bạn bằng trái tim nhân ái, bằng tấm lòng nhân hậu như thế!

Tình thương và sự quan tâm của Sơn đối với bạn còn được thể hiện bằng những cử chỉ, hành động cụ thể. Thấy cái Hiên, đứa con gái bên hàng xóm, bạn chơi với Lan và Duyên “co ro dứng bên cột quán”, chỉ mặc có ‘manh áo rách tả tơi hở cả lưng và tay’, chị Lan gọi, “nó cũng không đến… Nghe cái Hiên ? “bịu xịu” nói với chị Lan là ‘hết áo rồi, chỉ còn cái áo này’, bấy giờ Sơn mới chợt nhớ ra ‘mẹ cái Hiên rất nghèo, chỉ có nghề mò cua bắt ốc thì lấy đâu ra tiền mà sắm áo cho con nữa”. Sơn đã “động lòng thương” bạn và một “ý nghĩ tốt thoảng qua”… Sơn đã nói thầm với chị Lan về lấy chiếc áo bông cũ của em Duyên đem cho cái Hiên mặc khi gió lạnh đầu mùa đã thổi về. Sơn thấy lòng mình “ấm áp vui vui” khi đứng lặng yên chờ chị Lan chạy về lấy áo. Sao không “ấm áp vui vui” được vì một miếng khi đói bằng một gói khi no.Đâu phải là một sự bố thí ban ơn! Đó là một nghĩa cử san sẻ tình thương đồng loại “lá lành đùm lá rách”.Tấm lòng của Sơn đối với bạn nhỏ rất chân thành. Tinh cảm nhường cơm sẻ áo cho bạn rất mãnh liệt! Mặc dù đó là chiếc áo bông của em Duyên, kỉ vật thiêng liêng của mẹ, mặc dù sau đó mẹ cái Hiên đã đem áo đến trả cho mẹ Sơn, nhưng nhờ thế mà mẹ em đã biết cảnh ngộ mẹ cái Hiên, cho mẹ cái Hiên vay năm hào đem về mua áo cho con.

Sơn và chị Lan đã “cúi đầu lặng im” nhận lỗi. Mẹ đã ôm hai em vào lòng, âu yếm nhẹ trách: “dám tự do lấy áo đem cho người ta không sợ mẹ mắng ư?”. Hai chị em Lan và Sơn đã được dạy bảo, được sống trong lòng mẹ, được mẹ yêu thương nên Sơn và chị mới biết thương bạn, mới biết “thương người như thể thương thân” vậy.

Sơn là một trong những gương mặt tuổi thơ trong truyện Thạch Lam rất đáng yêu, đáng mến. Thạch Lam đôn hậu, tinh tế nên văn ông mới đậm đà và cho ta nhiều nhã thú. Trong gió lạnh đầu mùa mà lòng Sơn ấm áp biết bao!

Trong truyện "Gió lạnh đầu mùa" người đọc sẽ rất ấn tượng với nhân vật Sơn. Chính cậu bé thân thiện, tốt bụng, giàu tình cảm và ấm áp này đã khiến tác phẩm trở nên cuốn hút hơn.

Sáng sớm ngủ dậy khi gió lạnh đầu mùa đã thổi về, trời trắng đục, gió vi vu, khóm lan trong chậu “rung động và hình như sắt lại vì rét”. Sơn cũng thấy lạnh, em kéo chăn lên đầu rồi cất tiếng gọi mẹ. Một chén nước nóng mẹ đưa cho em “ấp vào mặt, vào má cho ấm”, một chiếc áo dạ chỉ đỏ lẫn áo vệ sinh, ngoài lại phủ cái áo vải thâm, em mặc vào, đứng trên giường quay đi quay lại bốn lần để mẹ ngắm… Những chi tiết ấy cho biết Sơn còn bé nhỏ, ngây thơ, em rất được mẹ yêu. Không một tiếng khóc, một lời vòi vĩnh, Sơn đã cùng chị Lan đi chơi vì em biết lũ bạn con nhà nghèo xóm láng “đang đợi mình ở cuối chợ để đánh khăng, đánh đáo”. Gặp các bạn, khi chúng nó đến ngắm cái áo đẹp của Sơn, em cũng hồn nhiên ngây thơ như bất cứ đứa trẻ con nào, Sơn cũng “ưỡn ngực” khoe áo mới: “Mẹ tôi còn hẹn mua cho tôi một chiếc áo nhiều tiền hơn nữa kia’. Đúng là tâm lí đáng yêu: “Già được bát canh, trẻ được manh áo mới”.

Sơn là một em bé rất giàu tình cảm. Anh em như thể chân tay… Sơn đối với em đầy tình thương. Ngủ dậy thấy lạnh, Sơn “kéo chăn lên đắp cho em” đang ngủ. Khi mẹ giơ cái áo bông cánh cũ của em Duyên – đã chết năm lên bốn tuổi – ‘Sơn nhớ em, cảm động và thương em quá’. Những cử chỉ ấy, những cảm xúc ấy cho thấy Sơn có một tâm hồn rất đẹp, rất trong sáng, còn bé nhỏ đã biết quan tâm săn sóc đến mọi người xung quanh. Em rất yêu mẹ, vâng lời mẹ, lễ phép với vú già, biết tôn trọng chị. Sơn là một đứa bé được mẹ chăm sóc và dạy bảo nên em rất ngoan. Sơn là một em bé sống với bạn bè rất có tình người.

Trong lúc mấy đứa em họ của Sơn thì “kiêu kì và khinh khỉnh” với các bạn, trái lại Sơn và chị Lan rất chan hòa với chúng. Vì thế mới thấy chị em Sơn đến, chúng nó “lộ vẻ vui mừng”. Gặp bạn, buổi sớm trong gió lạnh đầu mùa, cái nhìn của Sơn đối với bạn nhỏ, những thằng Cúc, thằng Xuân, con Tí, con Túc,… là cái nhìn yêu thương, cám thông với cảnh nghèo của bạn. Trời lạnh mà chúng nó vẫn ‘ăn mặc không khác ngày thường, vần những bộ quần áo nâu bạc đã rách vá nhiều chỗ’, và “môi chúng nó tím lại…”, chỗ áo quần rách “da thịt thâm đi”. Mỗi lần làn gió lạnh thổi qua, các bạn nhỏ của Sơn “lại run lên” và “hai hàm răng đập vào nhau”. Biết quan tâm tới đồng loại, biết san sẻ, cảm thông với bạn bè chỉ có ở những trái tim nhân ái, những tấm lòng nhân hậu. Sơn đã chơi, đã sống với bạn bằng trái tim nhân ái, bằng tấm lòng nhân hậu như thế!

Tình thương và sự quan tâm của Sơn đối với bạn còn được thể hiện bằng những cử chỉ, hành động cụ thể. Thấy cái Hiên, đứa con gái bên hàng xóm, bạn chơi với Lan và Duyên “co ro dứng bên cột quán”, chỉ mặc có ‘manh áo rách tả tơi hở cả lưng và tay’, chị Lan gọi, “nó cũng không đến… Nghe cái Hiên ? “bịu xịu” nói với chị Lan là ‘hết áo rồi, chỉ còn cái áo này’, bấy giờ Sơn mới chợt nhớ ra ‘mẹ cái Hiên rất nghèo, chỉ có nghề mò cua bắt ốc thì lấy đâu ra tiền mà sắm áo cho con nữa”. Sơn đã “động lòng thương” bạn và một “ý nghĩ tốt thoảng qua”… Sơn đã nói thầm với chị Lan về lấy chiếc áo bông cũ của em Duyên đem cho cái Hiên mặc khi gió lạnh đầu mùa đã thổi về. Sơn thấy lòng mình “ấm áp vui vui” khi đứng lặng yên chờ chị Lan chạy về lấy áo. Sao không “ấm áp vui vui” được vì một miếng khi đói bằng một gói khi no.Đâu phải là một sự bố thí ban ơn! Đó là một nghĩa cử san sẻ tình thương đồng loại “lá lành đùm lá rách”.Tấm lòng của Sơn đối với bạn nhỏ rất chân thành. Tinh cảm nhường cơm sẻ áo cho bạn rất mãnh liệt! Mặc dù đó là chiếc áo bông của em Duyên, kỉ vật thiêng liêng của mẹ, mặc dù sau đó mẹ cái Hiên đã đem áo đến trả cho mẹ Sơn, nhưng nhờ thế mà mẹ em đã biết cảnh ngộ mẹ cái Hiên, cho mẹ cái Hiên vay năm hào đem về mua áo cho con.

Sơn và chị Lan đã “cúi đầu lặng im” nhận lỗi. Mẹ đã ôm hai em vào lòng, âu yếm nhẹ trách: “dám tự do lấy áo đem cho người ta không sợ mẹ mắng ư?”. Hai chị em Lan và Sơn đã được dạy bảo, được sống trong lòng mẹ, được mẹ yêu thương nên Sơn và chị mới biết thương bạn, mới biết “thương người như thể thương thân” vậy.

Sơn là một trong những gương mặt tuổi thơ trong truyện Thạch Lam rất đáng yêu, đáng mến. Thạch Lam đôn hậu, tinh tế nên văn ông mới đậm đà và cho ta nhiều nhã thú. Trong gió lạnh đầu mùa mà lòng Sơn ấm áp biết bao!

Trong truyện "Gió lạnh đầu mùa" người đọc sẽ rất ấn tượng với nhân vật Sơn. Chính cậu bé thân thiện, tốt bụng, giàu tình cảm và ấm áp này đã khiến tác phẩm trở nên cuốn hút hơn.

Sáng sớm ngủ dậy khi gió lạnh đầu mùa đã thổi về, trời trắng đục, gió vi vu, khóm lan trong chậu “rung động và hình như sắt lại vì rét”. Sơn cũng thấy lạnh, em kéo chăn lên đầu rồi cất tiếng gọi mẹ. Một chén nước nóng mẹ đưa cho em “ấp vào mặt, vào má cho ấm”, một chiếc áo dạ chỉ đỏ lẫn áo vệ sinh, ngoài lại phủ cái áo vải thâm, em mặc vào, đứng trên giường quay đi quay lại bốn lần để mẹ ngắm… Những chi tiết ấy cho biết Sơn còn bé nhỏ, ngây thơ, em rất được mẹ yêu. Không một tiếng khóc, một lời vòi vĩnh, Sơn đã cùng chị Lan đi chơi vì em biết lũ bạn con nhà nghèo xóm láng “đang đợi mình ở cuối chợ để đánh khăng, đánh đáo”. Gặp các bạn, khi chúng nó đến ngắm cái áo đẹp của Sơn, em cũng hồn nhiên ngây thơ như bất cứ đứa trẻ con nào, Sơn cũng “ưỡn ngực” khoe áo mới: “Mẹ tôi còn hẹn mua cho tôi một chiếc áo nhiều tiền hơn nữa kia’. Đúng là tâm lí đáng yêu: “Già được bát canh, trẻ được manh áo mới”.

Sơn là một em bé rất giàu tình cảm. Anh em như thể chân tay… Sơn đối với em đầy tình thương. Ngủ dậy thấy lạnh, Sơn “kéo chăn lên đắp cho em” đang ngủ. Khi mẹ giơ cái áo bông cánh cũ của em Duyên – đã chết năm lên bốn tuổi – ‘Sơn nhớ em, cảm động và thương em quá’. Những cử chỉ ấy, những cảm xúc ấy cho thấy Sơn có một tâm hồn rất đẹp, rất trong sáng, còn bé nhỏ đã biết quan tâm săn sóc đến mọi người xung quanh. Em rất yêu mẹ, vâng lời mẹ, lễ phép với vú già, biết tôn trọng chị. Sơn là một đứa bé được mẹ chăm sóc và dạy bảo nên em rất ngoan. Sơn là một em bé sống với bạn bè rất có tình người.

Trong lúc mấy đứa em họ của Sơn thì “kiêu kì và khinh khỉnh” với các bạn, trái lại Sơn và chị Lan rất chan hòa với chúng. Vì thế mới thấy chị em Sơn đến, chúng nó “lộ vẻ vui mừng”. Gặp bạn, buổi sớm trong gió lạnh đầu mùa, cái nhìn của Sơn đối với bạn nhỏ, những thằng Cúc, thằng Xuân, con Tí, con Túc,… là cái nhìn yêu thương, cám thông với cảnh nghèo của bạn. Trời lạnh mà chúng nó vẫn ‘ăn mặc không khác ngày thường, vần những bộ quần áo nâu bạc đã rách vá nhiều chỗ’, và “môi chúng nó tím lại…”, chỗ áo quần rách “da thịt thâm đi”. Mỗi lần làn gió lạnh thổi qua, các bạn nhỏ của Sơn “lại run lên” và “hai hàm răng đập vào nhau”. Biết quan tâm tới đồng loại, biết san sẻ, cảm thông với bạn bè chỉ có ở những trái tim nhân ái, những tấm lòng nhân hậu. Sơn đã chơi, đã sống với bạn bằng trái tim nhân ái, bằng tấm lòng nhân hậu như thế!

Tình thương và sự quan tâm của Sơn đối với bạn còn được thể hiện bằng những cử chỉ, hành động cụ thể. Thấy cái Hiên, đứa con gái bên hàng xóm, bạn chơi với Lan và Duyên “co ro dứng bên cột quán”, chỉ mặc có ‘manh áo rách tả tơi hở cả lưng và tay’, chị Lan gọi, “nó cũng không đến… Nghe cái Hiên ? “bịu xịu” nói với chị Lan là ‘hết áo rồi, chỉ còn cái áo này’, bấy giờ Sơn mới chợt nhớ ra ‘mẹ cái Hiên rất nghèo, chỉ có nghề mò cua bắt ốc thì lấy đâu ra tiền mà sắm áo cho con nữa”. Sơn đã “động lòng thương” bạn và một “ý nghĩ tốt thoảng qua”… Sơn đã nói thầm với chị Lan về lấy chiếc áo bông cũ của em Duyên đem cho cái Hiên mặc khi gió lạnh đầu mùa đã thổi về. Sơn thấy lòng mình “ấm áp vui vui” khi đứng lặng yên chờ chị Lan chạy về lấy áo. Sao không “ấm áp vui vui” được vì một miếng khi đói bằng một gói khi no.Đâu phải là một sự bố thí ban ơn! Đó là một nghĩa cử san sẻ tình thương đồng loại “lá lành đùm lá rách”.Tấm lòng của Sơn đối với bạn nhỏ rất chân thành. Tinh cảm nhường cơm sẻ áo cho bạn rất mãnh liệt! Mặc dù đó là chiếc áo bông của em Duyên, kỉ vật thiêng liêng của mẹ, mặc dù sau đó mẹ cái Hiên đã đem áo đến trả cho mẹ Sơn, nhưng nhờ thế mà mẹ em đã biết cảnh ngộ mẹ cái Hiên, cho mẹ cái Hiên vay năm hào đem về mua áo cho con.

Sơn và chị Lan đã “cúi đầu lặng im” nhận lỗi. Mẹ đã ôm hai em vào lòng, âu yếm nhẹ trách: “dám tự do lấy áo đem cho người ta không sợ mẹ mắng ư?”. Hai chị em Lan và Sơn đã được dạy bảo, được sống trong lòng mẹ, được mẹ yêu thương nên Sơn và chị mới biết thương bạn, mới biết “thương người như thể thương thân” vậy.

Sơn là một trong những gương mặt tuổi thơ trong truyện Thạch Lam rất đáng yêu, đáng mến. Thạch Lam đôn hậu, tinh tế nên văn ông mới đậm đà và cho ta nhiều nhã thú. Trong gió lạnh đầu mùa mà lòng Sơn ấm áp biết bao!