âu 11: Cho số nguyên n (n > 1) thỏa mãn n² + 4 và n² + 16 là các số nguyên tố. Chứng minh n chia hết cho 5.

• Phân tích:
• • Ta xét các trường hợp số dư của n khi chia cho 5:
  • • n = 5k (k là số nguyên dương): n chia hết cho 5.
    • n = 5k ± 1: n² = 25k² ± 10k + 1 => n² + 4 = 25k² ± 10k + 5 chia hết cho 5.
    • n = 5k ± 2: n² = 25k² ± 20k + 4 => n² + 16 = 25k² ± 20k + 20 chia hết cho 5.
  • Vì n² + 4 và n² + 16 là các số nguyên tố, nên n không thể có dạng 5k ± 1 hoặc 5k ± 2.
  • Vậy, n phải có dạng 5k.
• Kết luận: n chia hết cho 5.

Câu 8: Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho a² + b² = c². Chứng minh: ab ⋮ (a + b + c).

• Phân tích:
• • a² + b² = c² (định lý Pytago)
  • (a + b + c)(a + b - c) = (a + b)² - c² = a² + 2ab + b² - c² = 2ab
  • Vì a, b, c là số nguyên dương, nên a + b + c > 0 và a + b - c > 0.
  • Ta cần chứng minh: ab ⋮ (a + b + c)
  • Ta có: 2ab = (a + b + c)(a + b - c)
  • Nếu (a + b + c) là ước của 2ab, thì ab ⋮ (a + b + c) hoặc 2ab ⋮ (a + b + c).
  • Giả sử (a + b + c) là số lẻ, thì (a + b - c) cũng là số lẻ.
  • Khi đó, (a + b + c)(a + b - c) là số lẻ, nhưng 2ab là số chẵn (vô lý).
  • Vậy, (a + b + c) phải là số chẵn.
  • Khi đó, (a + b - c) là số chẵn.
  • Ta có: (a + b + c)(a + b - c) = 2ab
  • Vì (a + b + c) là số chẵn, nên (a + b + c) = 2k (với k là số nguyên dương).
  • 2ab = 2k(a + b - c)
  • ab = k(a + b - c)
  • Vậy, ab ⋮ (a + b + c).
• Kết luận: ab ⋮ (a + b + c).

Câu 9: Cho bốn số tự nhiên phân biệt d < c < b < a. Chứng minh rằng: P = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) ⋮ 12.

• Phân tích:
• • P là tích của 6 hiệu các số tự nhiên.
  • Trong 4 số tự nhiên a, b, c, d, luôn có 2 số cùng số dư khi chia cho 2.
  • Vậy, trong 6 hiệu trên, luôn có ít nhất 1 hiệu chia hết cho 2.
  • Tương tự, luôn có ít nhất 1 hiệu chia hết cho 3.
  • Vậy, P chia hết cho 2 và 3.
  • Ta cần chứng minh P chia hết cho 4.
  • Xét 4 số a, b, c, d chia cho 4:
  • • Nếu có 2 số cùng số dư khi chia cho 4, thì hiệu của chúng chia hết cho 4 => P chia hết cho 4.
    • Nếu 4 số có số dư khác nhau khi chia cho 4 (0, 1, 2, 3), thì có 2 số có hiệu chia hết cho 2.
    • • Có 2 số chia hết cho 2, hiệu của chúng chia hết cho 4 => P chia hết cho 4.
    • Vậy, P luôn chia hết cho 4.
  • Vì P chia hết cho 3 và 4, nên P chia hết cho BCNN(3, 4) = 12.
• Kết luận: P = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) ⋮ 12.

Câu 13: Tìm số nguyên a để a² + a + 3 chia hết cho a + 1.

• Phân tích:
• • a² + a + 3 = a(a + 1) + 3
  • Vì a(a + 1) chia hết cho a + 1, nên để a² + a + 3 chia hết cho a + 1, thì 3 phải chia hết cho a + 1.
• Các ước của 3: ±1, ±3
• Giải các trường hợp:
• • a + 1 = 1 => a = 0
  • a + 1 = -1 => a = -2
  • a + 1 = 3 => a = 2
  • a + 1 = -3 => a = -4
• Kết luận: Các giá trị của a là 0, -2, 2, -4.

Câu 14: Cho các số nguyên dương n thỏa mãn n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 24.

• Giả thiết: n + 1 = x² và 2n + 1 = y² (với x, y là số nguyên dương).
• Biến đổi:
• • 2(n + 1) = 2x²
  • 2n + 2 = 2x²
  • 2n + 1 = y²
  • Trừ vế theo vế, ta được: 2x² - y² = 1
  • (√2x - y)(√2x + y) = 1
• Phân tích:
• • Vì x, y là số nguyên dương, nên √2x - y và √2x + y là số nguyên.
  • Để tích của chúng bằng 1, thì √2x - y = 1 và √2x + y = 1 hoặc √2x - y = -1 và √2x + y = -1.
  • Giải hệ phương trình, ta được x = 1 và y = 1 hoặc x = -1 và y = -1.
  • Do x, y là số nguyên dương, nên x = 1 và y = 1.
  • Khi đó, n + 1 = 1 => n = 0 (không thỏa mãn n là số nguyên dương).
• Kết luận: Đề bài sai.

Câu 15: Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn p = q + 2. Chứng minh rằng (p + q) chia hết cho 12.

• Giả thiết: p = q + 2 và p, q là số nguyên tố lớn hơn 3.
• Phân tích:
• • Vì p, q là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p, q là số lẻ.
  • p + q = (q + 2) + q = 2q + 2 = 2(q + 1)
  • Vì q là số lẻ, nên q + 1 là số chẵn.
  • Suy ra, p + q chia hết cho 4.
  • Vì p, q là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p, q không chia hết cho 3.
  • p, q có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2.
  • Nếu q = 3k + 1, thì p = 3k + 3 = 3(k + 1) (không là số nguyên tố).
  • Nếu q = 3k + 2, thì p = 3k + 4.
  • Khi đó, p + q = 3k + 4 + 3k + 2 = 6k + 6 = 6(k + 1).
  • Suy ra, p + q chia hết cho 6.
  • Vì p + q chia hết cho 4 và 6, nên p + q chia hết cho BCNN(4, 6) = 12.
• Kết luận: (p + q) chia hết cho 12.

Câu 16: Cho ba số chính phương x, y, z. Chứng minh rằng A = (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 12.

• Giả thiết: x, y, z là số chính phương.
• Phân tích:
• • Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
  • Xét các trường hợp số dư của x, y, z khi chia 3:
  • • Nếu có hai số có cùng số dư khi chia 3, thì hiệu của chúng chia hết cho 3 => A chia hết cho 3.
    • Nếu x, y, z có số dư khác nhau khi chia 3, thì có một số chia hết cho 3 => A chia hết cho 3.
  • Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.
  • Xét các trường hợp số dư của x, y, z khi chia 4:
  • • Nếu có hai số có cùng số dư khi chia 4, thì hiệu của chúng chia hết cho 4 => A chia hết cho 4.
    • Nếu x, y, z có số dư khác nhau khi chia 4, thì có hai số chia hết cho 4 hoặc hai số chia 4 dư 1.
    • • Nếu có hai số chia hết cho 4, thì hiệu của chúng chia hết cho 4 => A chia hết cho 4.
      • Nếu có hai số chia 4 dư 1, thì hiệu của chúng chia hết cho 4 => A chia hết cho 4.
  • Vì A chia hết cho 3 và 4, nên A chia hết cho BCNN(3, 4) = 12.
• Kết luận: A = (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 12.

Câu 17: Chứng minh 4a + a + b chia hết cho 6.

• Giả thiết: a + 1 chia hết cho 6 và b + 2007 chia hết cho 6.
• Biến đổi biểu thức:
• • 4a + a + b = 5a + b
  • Ta có: a + 1 chia hết cho 6 => a = 6k - 1 (với k là số nguyên dương)
  • Ta có: b + 2007 chia hết cho 6 => b = 6m - 2007 (với m là số nguyên dương)
• Thay vào biểu thức:
• • 5a + b = 5(6k - 1) + (6m - 2007)
  • = 30k - 5 + 6m - 2007
  • = 30k + 6m - 2012
  • = 6(5k + m - 335) - 2
• Phân tích:
• • 6(5k + m - 335) chia hết cho 6
  • -2 không chia hết cho 6
  • Vậy, 4a + a + b không chia hết cho 6.
• Kết luận: Đề bài sai.

Câu 18: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

• Gọi số cần tìm là x.
• Biểu diễn các điều kiện:
• • x = 3k + 1
  • x = 4m + 2
  • x = 5n + 3
  • x = 6p + 4
  • x chia hết cho 11
• Biến đổi:
• • x + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
  • x + 2 = 4m + 4 = 4(m + 1)
  • x + 2 = 5n + 5 = 5(n + 1)
  • x + 2 = 6p + 6 = 6(p + 1)
  • Vậy, x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6.
• Tìm BCNN(3, 4, 5, 6):
• • BCNN(3, 4, 5, 6) = 60
  • Vậy, x + 2 = 60q (với q là số tự nhiên)
  • x = 60q - 2
• Tìm x chia hết cho 11:
• • x = 60q - 2 chia hết cho 11
  • 60q - 2 = 11r (với r là số tự nhiên)
  • 60q = 11r + 2
  • Ta thử q = 1, 2, 3,... để tìm giá trị thỏa mãn.
  • Khi q = 2, ta có 60 * 2 = 120 = 11 * 10 + 10 (không chia hết cho 11)
  • Khi q = 3, ta có 60 * 3 = 180 = 11 * 16 + 4 (không chia hết cho 11)
  • Khi q = 4, ta có 60 * 4 = 240 = 11 * 21 + 9 (không chia hết cho 11)
  • Khi q = 5, ta có 60 * 5 = 300 = 11 * 27 + 3 (không chia hết cho 11)
  • Khi q = 6, ta có 60 * 6 = 360 = 11 * 32 + 8 (không chia hết cho 11)
  • Khi q = 7, ta có 60 * 7 = 420 = 11 * 38 + 2 (chia hết cho 11)
  • Vậy, q = 7.
• Tính x:
• • x = 60 * 7 - 2 = 418
• Kết luận: Số cần tìm là 418.

Câu 19: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2; a chia cho 5 dư 4; a chia cho 7 dư 6.

• Gọi số cần tìm là a.
• Biểu diễn các điều kiện:
• • a = 3k + 2
  • a = 5m + 4
  • a = 7n + 6
• Biến đổi:
• • a + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)
  • a + 1 = 5m + 5 = 5(m + 1)
  • a + 1 = 7n + 7 = 7(n + 1)
  • Vậy, a + 1 chia hết cho 3, 5, 7.
• Tìm BCNN(3, 5, 7):
• • BCNN(3, 5, 7) = 105
  • Vậy, a + 1 = 105q (với q là số tự nhiên)
  • a = 105q - 1
• Tìm a nhỏ nhất:
• • Khi q = 1, a = 105 * 1 - 1 = 104
• Kết luận: Số cần tìm là 104.

Để chứng minh SC.BD = SB.CD, chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus và các tính chất của tam giác đồng dạng.

1. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD và đường thẳng NSK:

Theo định lý Menelaus, ta có:

(SB/SC) * (CK/KD) * (DN/NB) = 1

2. Biến đổi tỉ số:

Ta cần biến đổi tỉ số (CK/KD) và (DN/NB) để có thể liên quan đến BD và CD.

• Xét tam giác ADC:
• • Vì CK là đường cao, nên tam giác CDK vuông tại K.
  • Ta có: CD/AD = CK/AK = DK/CD
  • Suy ra: CK/KD = CD/AD
• Xét tam giác ABD:
• • Vì BN là đường cao, nên tam giác BDN vuông tại N.
  • Ta có: BD/AD = BN/AN = DN/BD
  • Suy ra: DN/NB = BD/AD

3. Thay tỉ số vào định lý Menelaus:

Thay CK/KD = CD/AD và DN/NB = BD/AD vào biểu thức (1), ta được:

(SB/SC) * (CD/AD) * (BD/AD) = 1

4. Biến đổi biểu thức:

Nhân cả hai vế với (AD/BD) * (AD/CD), ta được:

(SB/SC) * (CD/AD) * (BD/AD) * (AD/BD) * (AD/CD) = (AD/BD) * (AD/CD)

(SB/SC) * 1 * 1 = (AD/BD) * (AD/CD)

SB/SC = (AD/BD) * (AD/CD)

5. Nhân chéo:

Nhân chéo hai vế, ta được:

SB * CD = SC * BD

6. Kết luận:

Vậy, ta đã chứng minh được:

SC.BD = SB.CD

Đoạn văn về Tô Ngọc Vân sử dụng nhiều cách liên kết câu khác nhau để tạo nên sự mạch lạc và logic. Dưới đây là phân tích chi tiết:

1. Liên kết bằng quan hệ nội dung:

• Câu 1 và câu 2: Hai câu này liên kết với nhau bằng quan hệ nguyên nhân - kết quả. Việc Tô Ngọc Vân là một nghệ sĩ tài ba (nguyên nhân) dẫn đến việc ông tốt nghiệp trường mỹ thuật và sớm nổi danh (kết quả).
• Câu 2 và câu 3: Hai câu này liên kết với nhau bằng quan hệ thời gian. "Trước Cách mạng tháng Tám" ở câu 2 và "Nước nhà độc lập" ở câu 3 cho thấy sự tiếp nối về mặt thời gian trong cuộc đời và sự nghiệp của Tô Ngọc Vân.
• Câu 3 và câu 4: Hai câu này liên kết với nhau bằng quan hệ mục đích. Việc nước nhà độc lập dẫn đến việc người nghệ sĩ tài năng hăng hái tham gia cách mạng bằng tài năng hội họa của mình.
• Câu 4 và câu 5: Hai câu này liên kết với nhau bằng quan hệ bổ sung thông tin. Câu 5 bổ sung thông tin chi tiết hơn về hoạt động cách mạng của Tô Ngọc Vân trong chiến dịch Điện Biên Phủ.
• Câu 5 và câu 6: Hai câu này liên kết với nhau bằng quan hệ tương phản. Câu 6 thể hiện sự tương phản giữa sự cống hiến của người nghệ sĩ và sự mất mát to lớn khi ông ngã xuống trước ngày chiến thắng.

2. Từ ngữ liên kết:

• "và": Liên kết câu 1 và câu 2, thể hiện quan hệ bổ sung.
• "Người nghệ sĩ tài năng": được lặp lại ở câu 3. Việc lặp lại này làm nhiệm vụ liên kết câu.
• "Trong": Liên kết câu 4 và câu 5, thể hiện quan hệ thời gian và không gian.
• "Đáng tiếc": Liên kết câu 5 và câu 6, thể hiện quan hệ tương phản, đối lập.
• Các dấu chấm câu: Dấu chấm câu cũng góp phần tạo nên sự liên kết giữa các câu, giúp người đọc nhận biết ranh giới giữa các ý và hiểu được mối quan hệ giữa chúng.

Tóm lại: Đoạn văn sử dụng kết hợp nhiều phương thức liên kết để tạo nên một chỉnh thể thống nhất và mạch lạc, giúp người đọc dễ dàng theo dõi và nắm bắt nội dung.

a) Biểu thức biểu thị chiều dài, chiều rộng, diện tích khu đất dùng để trồng trọt:

• Chiều dài khu đất trồng trọt:
• • Lối đi rộng 1,5m ở cả hai bên chiều dài, nên chiều dài khu đất trồng trọt giảm đi 2 * 1,5m = 3m.
  • Chiều dài khu đất trồng trọt là: x - 3 (m)
• Chiều rộng khu đất trồng trọt:
• • Tương tự, lối đi rộng 1,5m ở cả hai bên chiều rộng, nên chiều rộng khu đất trồng trọt giảm đi 2 * 1,5m = 3m.
  • Chiều rộng khu đất trồng trọt là: y - 3 (m)
• Diện tích khu đất trồng trọt:
• • Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng.
  • Diện tích khu đất trồng trọt là: (x - 3) * (y - 3) (m²)

b) Tính diện tích khu đất dùng để trồng trọt khi x = 20m, y = 15m:

• Thay x = 20 và y = 15 vào biểu thức diện tích:
• • Diện tích = (20 - 3) * (15 - 3) = 17 * 12 = 204 (m²)

Đáp số:

• a) Chiều dài khu đất trồng trọt: x - 3 (m) Chiều rộng khu đất trồng trọt: y - 3 (m) Diện tích khu đất trồng trọt: (x - 3) * (y - 3) (m²)
• b) Diện tích khu đất dùng để trồng trọt là 204 m².

Để tính 1 + 1 theo cách phức tạp nhất thế giới, chúng ta sẽ đi qua một loạt các định nghĩa, tiên đề, và lý thuyết toán học phức tạp, bao gồm cả lý thuyết tập hợp, số học Peano, và logic toán học.

1. Định nghĩa số tự nhiên theo lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel (ZFC):

• 0: Số 0 được định nghĩa là tập hợp rỗng, ký hiệu là {}.
• 1: Số 1 được định nghĩa là tập hợp chứa tập hợp rỗng, ký hiệu là {0} hay {{}}.
• 2: Số 2 được định nghĩa là tập hợp chứa tập hợp rỗng và tập hợp chứa tập hợp rỗng, ký hiệu là {0, 1} hay {{}, {{}}}.

2. Tiên đề Peano:

• Các tiên đề Peano là một hệ thống các tiên đề được sử dụng để định nghĩa tập hợp số tự nhiên.
• Trong đó, có một tiên đề quan trọng là tiên đề về hàm kế vị (successor function), ký hiệu là S(n), trả về số tự nhiên tiếp theo của n.
• Ví dụ:
• • S(0) = 1
  • S(1) = 2

3. Phép cộng theo định nghĩa đệ quy:

• Phép cộng được định nghĩa đệ quy như sau:
• • a + 0 = a
  • a + S(b) = S(a + b)

4. Chứng minh 1 + 1 = 2 bằng lý thuyết tập hợp:

• Để chứng minh 1 + 1 = 2, ta cần sử dụng các định nghĩa và tiên đề trên.
• Theo định nghĩa, 1 = {{}} và 2 = {{}, {{}}}.
• Ta có: 1 + 1 = {{}} + {{}} = {{}, {{}}} = 2.

5. Sử dụng lý thuyết phạm trù (Category Theory):

• Lý thuyết phạm trù là một lĩnh vực trừu tượng của toán học, nghiên cứu về các cấu trúc toán học và mối quan hệ giữa chúng.
• Trong lý thuyết phạm trù, phép cộng có thể được định nghĩa bằng các khái niệm như coproduct và initial object.
• Áp dụng lý thuyết phạm trù, ta có thể chứng minh 1 + 1 = 2 bằng cách xây dựng một phạm trù phù hợp và sử dụng các định nghĩa trừu tượng về phép cộng.

6. Sử dụng lý thuyết kiểu (Type Theory):

• Lý thuyết kiểu là một lĩnh vực của logic toán học và khoa học máy tính, nghiên cứu về các kiểu dữ liệu và hệ thống kiểu.
• Trong lý thuyết kiểu, số tự nhiên có thể được định nghĩa bằng các kiểu dữ liệu đệ quy.
• Áp dụng lý thuyết kiểu, ta có thể chứng minh 1 + 1 = 2 bằng cách xây dựng một hệ thống kiểu phù hợp và sử dụng các định nghĩa về phép cộng trong hệ thống đó.

7. Sử dụng các hệ thống logic phi cổ điển:

• Ngoài logic cổ điển, còn có nhiều hệ thống logic phi cổ điển, như logic trực giác, logic đa trị, và logic mờ.
• Trong một số hệ thống logic phi cổ điển, 1 + 1 có thể không bằng 2.
• Tuy nhiên, trong hầu hết các hệ thống logic phi cổ điển phổ biến, 1 + 1 vẫn bằng 2.

Kết luận:

• Vậy, 1 + 1 = 2.
• Đây là cách tính 1 + 1 theo cách phức tạp nhất thế giới, dựa trên các định nghĩa, tiên đề, và lý thuyết toán học phức tạp.

chúng ta sẽ đi qua một loạt các định nghĩa và tiên đề trong lý thuyết tập hợp, số học Peano, và logic toán học.

1. Định nghĩa số tự nhiên:

• 0: Số 0 được định nghĩa là tập hợp rỗng, ký hiệu là {}.
• 1: Số 1 được định nghĩa là tập hợp chứa tập hợp rỗng, ký hiệu là {0} hay {{}}.
• 2: Số 2 được định nghĩa là tập hợp chứa tập hợp rỗng và tập hợp chứa tập hợp rỗng, ký hiệu là {0, 1} hay {{}, {{}}}.

2. Tiên đề Peano:

• Các tiên đề Peano là một hệ thống các tiên đề được sử dụng để định nghĩa tập hợp số tự nhiên.
• Trong đó, có một tiên đề quan trọng là tiên đề về hàm kế vị (successor function), ký hiệu là S(n), trả về số tự nhiên tiếp theo của n.
• Ví dụ:
• • S(0) = 1
  • S(1) = 2

3. Phép cộng:

• Phép cộng được định nghĩa đệ quy như sau:
• • a + 0 = a
  • a + S(b) = S(a + b)

4. Tính 1 + 1:

• Áp dụng định nghĩa trên:
• • 1 + 1 = 1 + S(0)
  • = S(1 + 0)
  • = S(1)
  • = 2

5. Biểu diễn bằng lý thuyết tập hợp:

• 1 + 1 = {{}} + {{}} = {{}, {{}}} = 2

Kết luận:

• Vậy, 1 + 1 = 2.
• Đây là cách tính 1 + 1 theo cách phức tạp nhất, dựa trên các định nghĩa và tiên đề cơ bản của toán học.

Để vẽ đồ thị hàm số y = -2x + 1, ta cần xác định hai điểm thuộc đồ thị và nối chúng lại thành một đường thẳng.

1. Chọn hai giá trị x bất kỳ và tính giá trị y tương ứng:

• Chọn x = 0:
• • y = -2(0) + 1 = 1
  • Ta có điểm (0, 1)
• Chọn x = 1:
• • y = -2(1) + 1 = -1
  • Ta có điểm (1, -1)

2. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy:

• Vẽ trục Ox nằm ngang và trục Oy thẳng đứng, chúng cắt nhau tại gốc tọa độ O(0, 0).

3. Xác định hai điểm (0, 1) và (1, -1) trên hệ trục tọa độ:

• Điểm (0, 1) nằm trên trục Oy, cách gốc tọa độ 1 đơn vị theo chiều dương.
• Điểm (1, -1) nằm ở góc phần tư thứ tư, cách gốc tọa độ 1 đơn vị theo chiều dương của trục Ox và 1 đơn vị theo chiều âm của trục Oy.

4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0, 1) và (1, -1):

• Nối hai điểm này lại bằng một đường thẳng. Đường thẳng này chính là đồ thị của hàm số y = -2x + 1.

Đồ thị hàm số y = -2x + 1:

      ^ Oy
      |
    1 |  * (0, 1)
      |  \
      |   \
      |    \
  ----|-----*-----> Ox
     -1\    (1, -1)
      |
      | 

Nhận xét:

• Đồ thị hàm số y = -2x + 1 là một đường thẳng có hệ số góc là -2 và cắt trục Oy tại điểm (0, 1).
• Hệ số góc âm (-2) cho thấy đường thẳng này đi xuống khi x tăng lên.
• Điểm cắt trục Oy (0, 1) cho thấy đồ thị đi qua điểm có tung độ là 1 khi x = 0.