Chứng minh $BCDE$ là tứ giác nội tiếp.

Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Vì $BD,CE$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$

Suy ra BDC^=BEC^=90∘BDC=BEC=90∘.

Xét tam giác $BDC$ có BDC^=90∘BDC=90∘ và $DO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OD=OC=OB=12BCOD=OC=OB=21​BC (1)

Xét tam giác $BEC$ có BEC^=90∘BEC=90∘ và $EO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OE=OC=OB=12BCOE=OC=OB=21​BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OD=OE=OC=OB$.

Vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp được đường tròn có tâm $O$ là trung điểm $BC$.

b) Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.

Vì $BD,CE$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm $AH$ (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác $ADH$ có ADH^=90∘ADH=90∘ và $DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên MD=MA=MH=12AHMD=MA=MH=21​AH (3)

Xét tam giác $AEH$ có AEH^=90∘AEH=90∘ và $EM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ME=MA=MH=12AHME=MA=MH=21​AH (4)

Từ (3) và (4) suy ra $ADHE$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $M$ là trung điểm $AH$, đường kính $AH$.

 Chứng minh $BCDE$ là tứ giác nội tiếp.

Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Vì $BD,CE$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$

Suy ra BDC^=BEC^=90∘BDC=BEC=90∘.

Xét tam giác $BDC$ có BDC^=90∘BDC=90∘ và $DO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OD=OC=OB=12BCOD=OC=OB=21​BC (1)

Xét tam giác $BEC$ có BEC^=90∘BEC=90∘ và $EO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OE=OC=OB=12BCOE=OC=OB=21​BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OD=OE=OC=OB$.

Vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp được đường tròn có tâm $O$ là trung điểm $BC$.

b) Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.

Vì $BD,CE$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm $AH$ (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác $ADH$ có ADH^=90∘ADH=90∘ và $DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên MD=MA=MH=12AHMD=MA=MH=21​AH (3)

Xét tam giác $AEH$ có AEH^=90∘AEH=90∘ và $EM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ME=MA=MH=12AHME=MA=MH=21​AH (4)

Từ (3) và (4) suy ra $ADHE$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $M$ là trung điểm $AH$, đường kính $AH$.