) D là trung điểm AC nên AD = 

1

2

AC

E là trung điểm AB nên AE = 

1

2

AB.

∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra AE = AD.

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

AB = AC (chứng minh trên);

ˆ

B

A

C

 là góc chung;

AE = AD (chứng minh trên).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c).

b) G là trọng tâm của ∆ABC nên 

B

G

=

2

3

B

D

 và 

C

G

=

2

3

C

E

.

Mà BD = CE (do ∆ADB = ∆AEC)

Nên BG = CG

Do đó ∆GBC cân tại G.

c) G là trọng tâm tam giác ABC nên 

G

D

=

1

2

G

B

,

G

E

=

1

2

G

C

Do đó 

G

D

+

G

E

=

1

2

(

G

B

+

G

C

)

.

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra 

G

D

+

G

E

>

1

2

B

C

.

ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó 

B

G

=

2

3

B

M

, 

C

G

=

2

3

C

N

.

Khi đó 

B

M

=

3

2

B

G

, 

C

N

=

3

2

C

G

.

Xét tam giác BGC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

BG + CG > BC

Do đó 

3

2

B

G

+

3

2

C

G

>

3

2

B

C

Hay 

B

M

+

C

N

>

3

2