Trong tam giác ADB có MN//AB nên theo định lý Thales, DN/DB=MN/AB (1)

trong tam giác ACB có PQ//AB nên CQ/CB=PQ/AB(2)

Ta có NQ//AB,AB//CD nên NQ//CD

trong tâm giác BDC có NQ//CD nên DN/DB=CQ/CB (3)

từ (1) (2) (3)  MN/AB=PQ/AB

suy ra MN/PQ (đpcm)

Vì GM//BD nên DG/DC=BM/BC

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên DG/DC=BM/BC=1/3

suy ra BM=1/2.BC(đpcm)

Vì ABCD là hình thang nên AB//CD

Theo hệ quả của định lí Thales, OA/OC=OB/OD

suy ra OA.OD=OB.OC(đpcm)

Vì BC//B'C' nên theo định lý Thales, ta có:

BC/B'C'=x/x+h

suy ra a/a'=x/x+h

suy ra x=a.h/a'-a (dpcm)

Vì ED//AC nên theo định lý Thales, ta có:

AE/AB=DC/BC( cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) (1)

Vì DF//AB nên AF/AC=BD/BC( cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) (2)

Từ (1), (2), AF/AC+AE/AB=DC+BD/BC=1(đpcm)