a) Chứng minh bốn điểm $O$, $I$, $E$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $J$ là trung điểm của $ID$

Xét tam giác $DOI$ vuông tại $O$ (do $AB$ vuông $CD$) có $OJ$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra JO=JI=JD=12IDJO=JI=JD=21​ID (1)

Ta có IED^=90∘IED=90∘ (do là góc nội tiếp chắn cung $CD$) suy ra $\Delta IED$ vuông tại $E$.

Xét tam giác $IED$ vuông tại $E$ có $EI$ là trung tuyến ứng với canh huyền, suy ra JI=JE=JD=12IDJI=JE=JD=21​ID (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O,I,E,D$ cùng thuộc một đường tròn tâm $J$ đường kính $ID$

b) Chứng minh: AH.AE=2R2AH.AE=2R2 và $OA=3.OH$.

Xét $\Delta AHO$ và $\Delta ABE$ có:

AOH^=AEB^=90∘AOH=AEB=90∘

OAH^OAH: góc chung

Suy ra $\Delta AHO\sim \Delta ABE$ (g.g)

Suy ra: OAOH=AEBEOHOA​=BEAE​

Suy ra: AH.AE=AO.AB=R.2R=2R2AH.AE=AO.AB=R.2R=2R2

Ta có $AB$ và $CD$ là hai đường kính vuông góc với nhau nên ===AC⌢=CB⌢=BD⌢=DA⌢.

Mặt khác CEB^=12 CEB=21​ CB⌢; AEC^=12 AEC=21​ AC⌢.

Suy ra CEB^=AEC^CEB=AEC.

Vậy $EI$ là tia phân giác của góc $AEB$.

Khi đó, ta có:

AEBE=AIIB=32R12R=3BEAE​=IBAI​=21​R23​R​=3

Suy ra: OAOH=3OHOA​=3, do đó $OA=3.OH$

c) Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $BD$, $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BE$. Chứng minh: $Q,K,I$ thẳng hàng.

Theo ý b) $OA=3.OH$ mà $OA=OD$ nên $OD=3OH$ suy ra HD=23ODHD=32​OD

Suy ra $H$ là trọng tâm $\Delta ABD$ (1)

⚡Xét tam giác $OBD$ cân tại $O$ có $OK\perp BD$ nên $K$ cũng là trung điểm của $BD$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A,H,K,E$ thẳng hàng

⚡Xét tam giác $ABQ$ có $BD$ và $AE$ là các đường cao và $K\in BD$, $K\in AE$. Suy ra $K$ là trực tâm của $\Delta ABQ$.

Suy ra: $KQ$ vuông góc $AB$ (*)

Xét tam giác $OBD$ có $IK$ là đường trung bình của tam giác nên $IK//OD$, suy ra $IK\perp AB$ (góc đồng vị) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $Q,K,I$ thẳng hàng

a) Không gian mẫu:


b) Xác suất để tổng hai số trên hai viên bi là số lẻ:


a) Tần số tương đối của mỗi nhóm:

    [10; 20): 13,33%
    [20; 30): 30%
    [30; 40): 40%
    [40; 50): 16,67%

b) Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

Nhóm[10; 20)[20; 30)[30; 40)[40; 50)

Tần số 8,18,24,10

Tần số tương đối (%): 13,33; 30,00; 40,00;16,67

Tổng: 100,00

c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm:

    Trục ngang : Các nhóm [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50).
    Trục dọc : Tần số tương đối (%, từ 0% đến 50%).
     Chiều cao cột tương ứng với tần số tương đối của từng nhóm.