a)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A và \(\Delta HBA\) vuông tại H có :        

        \(\widehat{B}\) chung (GT)

   Nên \(\Delta ABC\sim\Delta HBA\) (1 cặp góc nhọn bằng nhau)

   suy ra \(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\)

   Do đó \(AB^2=BH.BC\)

b) Ta có:\(\widehat{ADB}=\widehat{BEH}\) (\(\widehat{ADB}\) phụ \(\widehat{ABD}\),\(\widehat{BEH}\) phụ \(\widehat{HBE}\),mà \(\widehat{ABD}=\widehat{HBE}\))

             mà \(\widehat{BEH}=\widehat{AED}\) (đối đỉnh)nên \(\widehat{ADB}=\widehat{AED}\)

     Do đó \(\Delta AED\) cân tại A suy ra trung tuyến AI là đường cao của \(\Delta AED\) suy ra AI vuông góc ED hay \(\Delta AIE\) vuông tại I

    Xét \(\Delta AIE\) vuông tại I và \(\Delta BHE\) vuông tại H có

                  \(\widehat{AEI}=\widehat{BEH}\) (đối đỉnh)

    Nên \(\Delta AIE\sim\Delta BHE\) (một cặp góc nhọn bằng nhau)

    Suy ra \(\dfrac{EA}{EI}=\dfrac{EB}{EH}\)

     Suy ra \(EI.EB=EH.EA\) (ĐPCM)

gọi quãng đường AB là x (km)

Điều kiện:x lớn hơn 0

Theo đề bài ta có:

   Thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{15}\)

    Thời gian người đi xe đạp đi từ B về A là \(\dfrac{x}{12}\)

    Thời gia về hiều hơn thời gian đi 45 phút =\(\dfrac{3}{4}giờ\)

Khi đó ta có phương trình:

               \(\dfrac{x}{12}-\dfrac{x}{15}=\dfrac{3}{4}\)

suy ra     \(\dfrac{5x}{60}-\dfrac{4x}{60}=\dfrac{45}{60}\)

                \(5x-4x=45\)

                \(x\left(5-4\right)=45\)

                       \(x=45\) (thoả mãn)

Vậy quãng đường AB dài 45 km

a)A=\(\dfrac{3x+15}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}\)

    A=\(\dfrac{3x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

    A=\(\dfrac{3x+15+\left(x-3\right)-\left(2x+6\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

    A=\(\dfrac{3x+15+x-3-2x-6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

    A=\(\dfrac{\left(3x+x-2x\right)+\left(15-3-6\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

    A=\(\dfrac{2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

    A=\(\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

    A=\(\dfrac{2}{x-3}\)

b) Để A=\(\dfrac{2}{3}\) hay \(\dfrac{2}{x-3}\)=\(\dfrac{2}{3}\) 
    Thì \(x-3=3\)

      suy ra \(x=3+3\)

                 \(x=6\)     

Vậy  A=\(\dfrac{2}{3}\) khi \(x=6\)