a) Để chứng minh (I) và (K) luôn cắt nhau, ta cần chứng minh rằng khoảng cách giữa hai tâm đường tròn I và K nhỏ hơn tổng bán kính của hai đường tròn.

Khoảng cách giữa hai tâm đường tròn I và K là OI + OK.

Tổng bán kính của hai đường tròn là OK + OI.

Vì OI + OK = OK + OI, nên khoảng cách giữa hai tâm đường tròn I và K nhỏ hơn hoặc bằng tổng bán kính của hai đường tròn.

Do đó, (I) và (K) luôn cắt nhau.

b) Để chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông, ta cần chứng minh rằng các góc của tứ giác này là góc vuông.

Vì tiếp tuyến tại M của (I) và tiếp tuyến tại N của (K) cắt nhau tại C, nên góc OMC và góc ONC là góc vuông.

Vì OI ⊥ OM và OK ⊥ ON, nên góc IOM và góc KON là góc vuông.

Do đó, tứ giác OMCN là hình vuông.

c) Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng góc ABC là góc thẳng.

Vì A và B là các giao điểm của (I) và (K), nên AB là đường nối giữa hai tâm đường tròn I và K.

Vì C là giao điểm của tiếp tuyến tại M của (I) và tiếp tuyến tại N của (K), nên C nằm trên đường thẳng đi qua hai tâm đường tròn I và K.

Do đó, ba điểm A, B, C thẳng hàng.

d) Để chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định, ta cần chứng minh rằng điểm cố định này không phụ thuộc vào vị trí của I và K.

Vì OI + OK = a không đổi, nên khoảng cách giữa hai tâm đường tròn I và K luôn không đổi.

Do đó, đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định không phụ thuộc vào vị trí của I và K.

từ đó ta có thể chứng minh được tam giác IAH và tam giác IBK là hai tam giác bằng nhau .Do đó IH+IK

vậy diện tích tam giác BCD là 6cm