Bước 1: Biểu diễn các số dưới dạng phân số

Chúng ta có thể biểu diễn cả hai số 1 dưới dạng phân số:

1=22vaˋ1=331 = \frac{2}{2} \quad \text{và} \quad 1 = \frac{3}{3}1=22​vaˋ1=33​

Vậy phép cộng có thể viết lại như sau:

1+1=22+331 + 1 = \frac{2}{2} + \frac{3}{3}1+1=22​+33​

Bước 2: Quy đồng mẫu số

Để cộng hai phân số, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung của 2 và 3 là 6, vì vậy ta sẽ quy đồng chúng về mẫu số này.

• Phân số thứ nhất: 22=2×32×3=66\frac{2}{2} = \frac{2 \times 3}{2 \times 3} = \frac{6}{6}22​=2×32×3​=66​
• Phân số thứ hai: 33=3×23×2=66\frac{3}{3} = \frac{3 \times 2}{3 \times 2} = \frac{6}{6}33​=3×23×2​=66​

Vậy phép cộng trở thành:

1+1=66+661 + 1 = \frac{6}{6} + \frac{6}{6}1+1=66​+66​

Bước 3: Cộng hai phân số

Bây giờ, khi mẫu số đã chung, ta có thể cộng hai phân số:

1+1=6+66=1261 + 1 = \frac{6 + 6}{6} = \frac{12}{6}1+1=66+6​=612​

Bước 4: Rút gọn phân số

Ta có thể rút gọn phân số 126\frac{12}{6}612​:

126=2\frac{12}{6} = 2612​=2

Bước 5: Dùng phương pháp số học đệ quy

Giờ ta sẽ áp dụng một cách tiếp cận đệ quy để tính 1 + 1. Giả sử ta có một hàm đệ quy $f(n)$ tính giá trị của phép cộng $n+n$, bắt đầu từ n = 1:

• Khi $n=1$, $f(1)=2$, và ta biết rằng: $$1+1=f(1)=2$$

Bước 6: Sử dụng phép toán phức tạp hơn

Một cách phức tạp khác là sử dụng phép cộng trong hệ đếm nhị phân. Ta có thể viết số 1 dưới dạng nhị phân là:

1=121 = 1_21=12​

Khi cộng hai số 1 + 1 trong hệ đếm nhị phân, ta có:

12+12=1021_2 + 1_2 = 10_212​+12​=102​

Chuyển đổi lại sang hệ thập phân:

102=210_2 = 2102​=2

Bước 7: Kết quả cuối cùng

Mặc dù qua các bước phức tạp, chúng ta vẫn nhận được kết quả rất đơn giản:

$$1+1=2$$

Để giải phép tính A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11} dưới dạng siêu phức tạp, ta sẽ thực hiện các bước trung gian phức tạp và giải thích chi tiết từng phần của phép toán.

Bước 1: Phân tích cấu trúc tổng quát

Ta có tổng sau:

A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11}

Mỗi phần tử trong tổng là một phân số có mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp. Tổng quát, ta có thể viết mỗi phần tử theo dạng:

2(2n−1)(2n+1)vớin=1,2,3,…,5.\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \quad \text{với} \quad n = 1, 2, 3, \dots, 5.

Vậy tổng có thể viết lại là:

A=∑n=152(2n−1)(2n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}

Bước 2: Đơn giản hóa mỗi phân số

Ta sẽ đơn giản hóa từng phân số trong tổng. Dễ dàng nhận thấy rằng mỗi phân số có thể rút gọn bằng cách sử dụng phép phân tích thành phần phân số (phương pháp phân tích phân số thành phần nhỏ hơn).

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Với mục đích tìm AA và BB, ta giải phương trình sau:

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Nhân cả hai vế với (2n−1)(2n+1)(2n-1)(2n+1):

2=A(2n+1)+B(2n−1)2 = A(2n+1) + B(2n-1)

Mở rộng các biểu thức:

2=A(2n)+A+B(2n)−B2 = A(2n) + A + B(2n) - B

Nhóm các hạng tử theo nn:

2=(2n)(A+B)+(A−B)2 = (2n)(A + B) + (A - B)

Vì phương trình này phải đúng với mọi giá trị của nn, ta có hệ phương trình:

A+B=0A + B = 0 A−B=2A - B = 2

Giải hệ này:

A=1vaˋB=−1A = 1 \quad \text{và} \quad B = -1

Vậy ta có:

2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}

Bước 3: Thay vào tổng

Ta thay vào biểu thức tổng ban đầu:

A=∑n=15(12n−1−12n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)

Viết cụ thể từng phần tử:

A=(11−13)+(13−15)+(15−17)+(17−19)+(19−111)A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right)

Bước 4: Tính toán các hạng tử

Quan sát rằng tổng này là một chuỗi lũy tiến mà trong đó các hạng tử sẽ hủy bỏ lẫn nhau. Cụ thể:

A=1−111A = 1 - \frac{1}{11}

Vậy:

A=1111−111=1011A = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}

Bước 5: Kết quả

Do đó, kết quả của phép tính AA là:

A=1011A = \frac{10}{11}

 

Ta biểu diễn $1+1$ như sau:

$$x=1+1$$

Theo tính chất của phép cộng trong tập số thực ($\mathbb{R}$):

$$x=2$$

Cách 2: Sử dụng ma trận

Xét hai ma trận đơn vị bậc 1:

A=[1],B=[1]A = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}A=[1​],B=[1​]

Cộng hai ma trận:

A+B=[1]+[1]=[2]A + B = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}A+B=[1​]+[1​]=[2​]

Vậy, $1+1=2$.

Cách 3: Sử dụng lý thuyết tập hợp

Theo lý thuyết tập hợp, số $1$ có thể được biểu diễn như một tập hợp chứa phần tử rỗng:

$$1=\{\varnothing \},1+1=\{\varnothing \}\cup \{\{\varnothing \}\}$$

Hai tập hợp trên không giao nhau, nên kết quả là một tập hợp có 2 phần tử:

$$1+1=2$$

Cách 4: Sử dụng logic mờ (Fuzzy Logic)

Trong logic mờ, $1$ là giá trị hoàn toàn đúng (True). Khi cộng hai giá trị hoàn toàn đúng:

$$\min (1+1,1)=1$$

Nhưng với tổng thông thường, kết quả vẫn là 2

cứt