Ta có: $d$ // $\Delta :x+4y-2=0\Rightarrow$ Phương trình $d$ có dạng: $x+4y+c=0$.

Mặt khác: d(A,d)=3⇒∣−2+4.3+c∣1+16=3⇒∣10+c∣=317d(A,d)=3⇒1+16​∣−2+4.3+c∣​=3⇒∣10+c∣=317​

⇒[c=317−10 c=−317−10⇒[d1:x+4y+317−10=0d2:x+4y−317−10=0 ⇒[​c=317​−10 c=−317​−10​⇒[​d1​:x+4y+317​−10=0d2​:x+4y−317​−10=0 ​

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x+4y+317−10=0x+4y+317​−10=0; x+4y−317−10=0x+4y−317​−10=0.

a) Gọi C(xC;yC)C(xC​;yC​).

Ta có: OC→=(xC;yC)OC=(xC​;yC​), AB→=(−2;5)⇒−3AB→=(6;−15)AB=(−2;5)⇒−3AB=(6;−15);

OC→=−3AB→⇔{xC=6yC=−15⇒C(6;−15)OC=−3AB⇔{​xC​=6yC​=−15​⇒C(6;−15)

b) $D$ đối xứng với $A$ qua $C$ hay $C$ là trung điểm của AD⇔{xC=xA+xD2yC=yA+yD2AD⇔⎩⎨⎧​​xC​=2xA​+xD​​yC​=2yA​+yD​​​

⇔{xD=2xC−xA=2.6−3=9yD=2yC−yA=2(−15)−(−5)=−25 ⇔⎩⎨⎧​ ​xD​=2xC​−xA​=2.6−3=9yD​=2yC​−yA​=2(−15)−(−5)=−25​

$\Rightarrow D(9;-25)$.

Bình phương hai vế phương trình, ta được: 2x2+5=x2−x+11⇔x2+x−6=0⇔x=22x2+5=x2−x+11⇔x2+x−6=0⇔x=2 hoặc $x=-3$.

Thay giá trị $x=2$ vào phương trình: 13=1313​=13​ (thỏa mãn).

Thay giá trị $x=-3$ vào phương trình: 23=2323​=23​ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\{2;-3\}$. 

Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là: $170x$ (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là 170x≥x2+30x+3300⇔x2−140x+3300≤0170x≥x2+30x+3300⇔x2−140x+3300≤0.

Xét x2−140x+3300=0⇒x=30x2−140x+3300=0⇒x=30 hoặc $x=110$.

Bảng xét dấu f(x)=x2−140x+3300f(x)=x2−140x+3300:

∞!aaaaa + ∞ − + ∞ − xf(x)00 + 30110

Ta có: x2−140x+3300≤0⇔x∈[30;110]x2−140x+3300≤0⇔x∈[30;110].

Vậy nếu nhà sản xuất làm ra từ $30$ đến $110$ sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.