b)

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p+1 cũng là số nguyên tố. Ta cần chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số nguyên dương).

Trường hợp 1: p = 3k+1

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+1)+1 = 24k+9 = 3(8k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 8p+1 là số nguyên tố.

Trường hợp 2: p = 3k+2

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+2)+1 = 24k+17. Ta xét 4p+1:

4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều suy ra 4p+1 là hợp số.

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.

a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5

b) Biết 8p + 1cũng là số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số.

b)

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p+1 cũng là số nguyên tố. Ta cần chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số nguyên dương).

Trường hợp 1: p = 3k+1

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+1)+1 = 24k+9 = 3(8k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 8p+1 là số nguyên tố.

Trường hợp 2: p = 3k+2

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+2)+1 = 24k+17. Ta xét 4p+1:

4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều suy ra 4p+1 là hợp số.

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p+1 cũng là số nguyên tố. Ta cần chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số nguyên dương).

Trường hợp 1: p = 3k+1

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+1)+1 = 24k+9 = 3(8k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 8p+1 là số nguyên tố.

Trường hợp 2: p = 3k+2

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+2)+1 = 24k+17. Ta xét 4p+1:

4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều suy ra 4p+1 là hợp số.

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p+1 cũng là số nguyên tố. Ta cần chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số nguyên dương).

Trường hợp 1: p = 3k+1

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+1)+1 = 24k+9 = 3(8k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 8p+1 là số nguyên tố.

Trường hợp 2: p = 3k+2

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+2)+1 = 24k+17. Ta xét 4p+1:

4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều suy ra 4p+1 là hợp số.

b)

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p+1 cũng là số nguyên tố. Ta cần chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số nguyên dương).

Trường hợp 1: p = 3k+1

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+1)+1 = 24k+9 = 3(8k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 8p+1 là số nguyên tố.

Trường hợp 2: p = 3k+2

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+2)+1 = 24k+17. Ta xét 4p+1:

4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều suy ra 4p+1 là hợp số.

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p+1 cũng là số nguyên tố. Ta cần chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số nguyên dương).

Trường hợp 1: p = 3k+1

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+1)+1 = 24k+9 = 3(8k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 8p+1 là số nguyên tố.

Trường hợp 2: p = 3k+2

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+2)+1 = 24k+17. Ta xét 4p+1:

4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều suy ra 4p+1 là hợp số.

b)

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p+1 cũng là số nguyên tố. Ta cần chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số nguyên dương).

Trường hợp 1: p = 3k+1

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+1)+1 = 24k+9 = 3(8k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 8p+1 là số nguyên tố.

Trường hợp 2: p = 3k+2

Khi đó, 8p+1 = 8(3k+2)+1 = 24k+17. Ta xét 4p+1:

4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3), là hợp số vì chia hết cho 3 và lớn hơn 3.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều suy ra 4p+1 là hợp số.

$\left(1^2+2^2+3^2+...+2021^2\right)\cdot \left(91-273:3\right)$
$=\left(1^2+2^2+3^2+...+2021^2\right)\cdot \left(91-91\right)$
$=\left(1^2+2^2+3^2+...+2021^2\right)\cdot 0$
$=0$

$12^{30}:216^{n+1}=8^{10}$

=>$216^{n+1}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12^{30}}{8^{10}}=\genfrac{}{}{0ex}{}{{\left(12^3\right)}^{10}}{8^{10}}=216^{10}$

=>n+1=10

=>n=10-1=9

326 + (153 - x) = 403

=> 153 - x = 403 - 326

=> 153-x=77

=> x=153-77

=>x=76

Vậy: x=76