a) Chứng minh O là trung điểm của AD:

Do AM = 1/2 MC, nên M là điểm chia đoạn AC thành tỷ lệ 1:2.

Ta có: AM/AC = 1/3.

Vì AD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên D là trung điểm của BC.

Do đó, AD/AC = 1/2.

Từ hai tỷ lệ trên, ta có: AM/AD = 2/3.

Vì BM cắt AD tại O, nên ta có: AO/OD = AM/MC = 1/2.

Vậy, O là trung điểm của AD.

b) Chứng minh OM = 1/4 BM:

Ta có: AO/OD = 1/2 (chứng minh ở trên).

Do đó, AO = 1/2 AD.

Vì AD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên ta có: BD = DC.

Ta có: BM = BO + OM.V

ì BO = 1/2 BD (do O là trung điểm của AD), nên BO = 1/2 DC.

Ta có: OM/BO = AM/MC = 1/2.

Vậy OM = 1/4 BM.

a)  Chứng minh AD = 1/2 DC:

Do I là trung điểm của AM, nên AI = IM.

Trung tuyến AM chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Do D là giao điểm của BI và AC, nên tỷ lệ giữa AD và DC bằng tỷ lệ giữa AI và AM, tức là 1/2.

Vậy, AD = 1/2 DC.

b) So sánh độ dài BD và ID:

Do I là trung điểm của AM, nên BI là phân giác của góc ABC.

Phân giác BI chia cạnh AC thành hai đoạn có tỷ lệ bằng tỷ lệ giữa hai cạnh kề.

Do AD = 1/2 DC (chứng minh ở trên), nên BD < ID.

Vậy, độ dài BD nhỏ hơn độ dài ID.