Gọi 2 số chắn liên tiếp là 2k;2(k+1) (k ∈ Z)

Tích của 2 số chắn là:

2k.2(k+1)= 4k(k+1)

+)Với k là số chẵn thì k ⋮ 2

==> 4k ⋮ (4.2)

Hay : 4k ⋮ 8

==> 4k.(k+1) ⋮ 8 (1)

+)Với k là số lẻ thì k+1 là số chẵn

==> (k+1) ⋮ 2

==> 4.(k+1) ⋮ (4.2)

==> 4.(k+1) ⋮ 8

==> 4k.(k+1) ⋮ 8 (2)

Từ (1) và (2), ta có:

4k.(k+1) ⋮ 8

Hay: 2k.2(k+1) ⋮ 8

Hay: Tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

Gọi số học sinh của trường THCS đó là a ( học sinh, a ϵ N^*, a < 1500 )

Theo bài ra, ta có:

a : 25 dư 19 nên (a - 19) ⋮ 25 nên (a-19) ϵ B(25) (1)

a : 30 dư 19 nên (a-19) ⋮ 30 nên (a-19) ϵ B(30) (2)

a : 40 dư 19 nên (a-19)⋮ 40 nên (a-19) ϵ B(40) (3)

Từ (1);(2) và (3) , ta có:

(a-19) ϵ BC (25,30,40)

Ta có:

25 = 5²

30 = 2.3.5

40 = 2³.5

⇒ BCNN (25,30,40) = 2³.5².3 =600

⇒ BC (25,30,40) = B (600) = {0;600;1200;1800;...}

⇒ (a-19) ϵ { 0;600;1200;1800;...}

⇒ a ϵ {19;619;1219;1819:...}

Mà a < 1500 nên a ϵ { 19;619;1219}

Theo bài ra , ta có : a ⋮ 53 nên a = 1219

Vậy số học sinh của trường THCS đó là 1219 học sinh.