Δ

a) Xét ΔABC có:

N là trung điểm của AB (do CN là đường trung tuyến)

M là trung điểm của AC (do BM là đường trung tuyến)

Do đó MN là đường trung bình của ΔABC

Do đó MN//BC (1)

Xét ΔGBC có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

Suy ra DE là đường trung bình của ΔGBC

Do đó DE//BC (2)

Từ (1), (2) suy ra MN//DE

b) Xét ΔBAM có:

N là trung điểm của AB (do CN là đường trung tuyến)

D là trung điểm của GB (gt)

Do đó ND là đường trung bình của ΔBAM

Suy ra ND//AG (1)

Xét ΔCAG có:

M là trung điểm của AC (do BM là đường trung tuyến)

E là trung điểm của GC (gt)

Do đó ME là đường trung bình của ΔCAG

Suy ra ME//AG (2)

Từ (1), (2) suy ra ND//ME

Gọi F là trung điểm của MC

Suy ra FM = FC = 1/2MC 

mà AM = 1/2 MC, do đó AM = FM = FC

Suy ra M là trung điểm của AF

Xét ΔMCB có:

F là trung điểm của MC

D là trung điểm của BC

Do đó FD là đường trung bình của ΔMCB

Suy ra FD// BM hay FD//OM

Xét ΔADF có:

FD//OM (cmt)

M là trung điểm của AF (cmt)

Do đó OM là đường trung bình của ΔADF

Suy ra O là trung điểm của AD

b) Vì FD là đường trung bình của ΔMCB (cmt) nên FD = BM/2 (1)

Vì OM là đường trung bình của ΔADF (cmt) nên FD = 2OM (2)

Từ (1), (2) suy ra BM/2 = 2OM hay OM = 1/4BM

a) Gọi P là trung điểm của CD

Xét ΔCDB có:

M là trung điểm của BC (gt)

P là trung điểm của CD (gt)

Suy ra MP là đường trung tính của ΔCDB

Do đó MP//BD hay MP//ID

Xét ΔAMP có:

MP//ID (cmt)

I là trung điểm của AM (gt)

Do đó ID là đường trung bình của ΔAMP

Suy ra D là trung điểm của AP, nên DA = DP (1)

mà P là trung điểm của CD, suy ra PD = PC (2)

Từ (1), (2) suy ra DA = PC = PD

Do đó AD = 1/2CD

b) Vì MP là đường trung tính của ΔCDB (cmt) nên MP = BD/2 (1)

Vì ID là đường trung tính của ΔAMP (cmt) nên MP = 2ID (2)

Từ (1), (2) suy ra BD/2 = 2ID hay BD = 4ID

a) Gọi P là trung điểm của CD

Xét ΔCDB có:

M là trung điểm của BC (gt)

P là trung điểm của CD (gt)

Suy ra MP là đường trung tính của ΔCDB

Do đó MP//BD hay MP//ID

Xét ΔAMP có:

MP//ID (cmt)

I là trung điểm của AM (gt)

Do đó ID là đường trung bình của ΔAMP

Suy ra D là trung điểm của AP, nên DA = DP (1)

mà P là trung điểm của CD, suy ra PD = PC (2)

Từ (1), (2) suy ra DA = PC = PD

Do đó AD = 1/2CD

a) Vì ABCD là hình vuông nên BC = CD = DA = AB

Ta có: MB = AB - AM

           NC = BC - BN

           PD = CD - CP

           QA = AD - QD

mà AM = BN = CP = DQ (gt)

Suy ra MB = NC = PD = QA

b) Xét △QAM và △NCP có:

QA = NC (cmt)

AM = BN (gt)

góc MAQ = góc NCP = 90 độ (ABCD là hình vuông)

Do đó △QAM = △NCP (hai cạnh góc vuông)

c) Xét △QAM, △NCP, △MBN, △PDQ có:

AM = BN = CP = DQ (gt)

MB = NC = PD = QA (c/m phần a)

góc MAQ = góc QDP = góc PCN = góc NBM = 90 độ (ABCD là hình vuông)

Do đó △QAM = △NCP = △MBN = △PDQ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MN = NP = PQ = QM (các cạnh tương ứng)

Suy ra MNPQ là hình thoi (1)

Vì △NCP = △MBN nên góc BMN = góc CNP (hai góc tương ứng)

mà góc BNM + góc BMN = 90 độ, suy ra góc BNM + góc CNP = 90 độ

Do đó góc MNP = góc BNC - (góc BNM + góc CNP) = 180 độ - 90 độ = 90 độ (2)

Từ (1), (2) suy ra MNPQ là hình vuông

a) Vì IM = IK nên I là trung điểm của MK

Xét tứ giác AMCK có hai đường chéo AC và MK cắt nhau tại trung điểm I nên là hình bình hành

Vì ΔABC vuông tại A có AM là dường trung tuyến nên MA = MC = MB

Xét hình bình hành AMCK có MA = MC nên là hình thoi

b) Vì AMCK là hình thoi (cmt) nên AK = MC, AK//MC

mà MC = MB nên AK = MB (1)

Vì M thuộc BC nên AK//MB (2)

Từ (1), (2) suy ra AKMB là hình bình hành

c)

a) Vì △ABC vuông cân tại A nên góc ABC = góc BCA = 45 độ

Xét △BHE ta có:

góc EBH + góc BHE + góc HEB = 180 độ (tổng ba góc trong một tam giác)

45 độ + 90 độ + góc HEB = 180 độ

suy ra góc HEB = 180 độ - 45 độ - 90 độ = 45 độ

Xét △BHE có: 

góc EBH = góc BEH = 45 độ

Do đó △BHE vuông cân tại H

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta có △GFC vuông cân tại G

Do đó GF = GC (1)

Ta có: △BHE vuông cân tại H (chứng minh câu a)

Do đó HB = HE (2)

Mà GC = HB (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra GF = HE (4)

Lại có: HE vuông góc với BC, GF vuông góc với BC

Do đó HE//GF (5)

Từ (4), (5) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành

Hình bình hành EFGH có góc EHG = 90 độ nên là hình chữ nhật

Vì HB = HE (△BHE vuông cân tại H) mà HB = HG (gt) nên HE = HG

Hình chữ nhật EFGH có HE = HG nên là hình vuông

Xét tứ giác OBAC có:

góc COB = góc OBA = góc OCA = 90 độ

Suy ra tứ giác OBAC là hình chữ nhật

Mà hình chữ nhật OBAC có Om là tia phân giác của góc BOC

Do đó hình chữ nhật OBAC là hình vuông