Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có AGAD=23ADAG​=32​ hay AG=23ADAG=32​AD

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23ADAG​=BDBM​=32​

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên BMBC=BM2BD=22.3=13BCBM​=2BDBM​=2.32​=31​

Do đó BM=13BCBM=31​BC (đpcm).

Xét tam giác $OCD$ có $AB//CD$ (giả thiết) và $AB$ cắt $OC;OD$ lần lượt tại $A;B$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

OAOC=OBOD=ABCD⇒OAOC=OBOD⇒OA.OD=OB.OCOCOA​=ODOB​=CDAB​⇒OCOA​=ODOB​⇒OA.OD=OB.OC  (điều phải chứng minh).

Ta có DE//AC 

⇒AEAB=CDBC⇒ABAE​=BCCD​ (Talet)

Ta có DF//AB ⇒AFAC=BDBC⇒ACAF​=BCBD​ (Talet)

⇒AEAB+AFAC=CDBC+BDBC=BCBC=1(dpcm)⇒ABAE​+ACAF​=BCCD​+BCBD​=BCBC​=1(dpcm)