Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

a/

Xét tg ABC có

NA=NB; MA=MC => MN là đường trung bình của tg ABC => MN//BC

Xét tg GBC có

DG=DB; EG=EC => DE là đường trung bình của tg GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/

Xét tg ABG có

NA=NB; DG=DB => ND là đường trung bình của tg ABG => ND//AG

Xét tg ACG có

MA=MC; EG=EC => ME là đường trung bình của tg ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)

a/ Goi E là trung điểm của MC

Từ gt AM=12MC⇒AM=ME=ECAM=21​MC⇒AM=ME=EC

Xét tg BCM có

ME=EC (cmt); DB=DC (gt) => DE là đường trung bình của tg BCM

=> DE//BM 

Xét tg ADE có

AM=ME (cmt)

BM//DE (cmt) =>OM//DE

=> OA=OD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

b/

Ta có DE là đường trung bình của tg BCM ⇒DE=12BM⇒DE=21​BM

Xét tg ADE có

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) => OM là đường trung bình của tg ADE

⇒OM=12DE=12.12BM=14BM⇒OM=21​DE=21​.21​BM=41​BM

Gọi K là trung điểm của CD

a: Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BD

hay ID//MK

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

=>AD=DK=KC

=>AD=1/2DC

b: Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có AGAD=23ADAG​=32​ hay AG=23ADAG=32​AD

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23ADAG​=BDBM​=32​

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên BMBC=BM2BD=22.3=13BCBM​=2BDBM​=2.32​=31​

Do đó BM=13BCBM=31​BC (đpcm).

xét $△ABC$ có:

  $ED////AC=>AE/AB=DC/BC$

   $DF////AB=>AF/AC]=BD/BC$

$=>AE/AB+AF/AC=DC+BD/BC=BC/BC=1$  $(đpcm)$.

a) Chứng minh AEDF là hình vuông:

• Ta có: ΔABC vuông cân tại A (gt) => ∠BAC = 90 độ, AB = AC
• AE ⊥ AB, AF ⊥ AC (gt) => ∠AED = ∠AFD = 90 độ
• Tứ giác AEDF có 3 góc vuông nên AEDF là hình chữ nhật.
• Mà AD là đường chéo của hình chữ nhật AEDF (vì AD là đường trung trực của BC) => AEDF là hình vuông (hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau).

b) Chứng minh EF // BC:

• Ta có: AEDF là hình vuông (cmt) => EF // AD (tính chất hình vuông)
• Mà AD // BC (do AM là đường trung bình của ΔABC) => EF // BC.

c) Chứng minh góc AND = 90 độ:

• Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với EF cắt EF tại H.
• Ta có: MH ⊥ EF, AD ⊥ EF (vì AEDF là hình vuông) => MH // AD
• Mà M là trung điểm của BC => H là trung điểm của EF (đường trung bình của tam giác)
• Xét ΔMEF có:
  • MH là đường trung trực của EF (vì MH ⊥ EF tại trung điểm H)
  • EN ⊥ MF (gt) => AN là đường trung trực của MF (tính chất ba đường vuông góc) => AN ⊥ MF
• Mà MH // AD => AN ⊥ AD => Góc AND = 90 độ.