NGUYỄN XUÂN MAI
Giới thiệu về bản thân
Vì tam giác ABC cân tại A nên ∠ABC = ∠ACB. Vì BQ và CP là phân giác góc nên ∠OBC = 1/2∠ABC và ∠OCB = 1/2∠ACB. Do đó, ∠OBC = ∠OCB, khiến tam giác OBC cân tại O. b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB, AC và BC:
Vì O là giao điểm của hai đường phân giác BQ và CP nên nó là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác. c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với BC:
Trong tam giác cân ABC, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A cũng là đường trung tuyến và đường cao. Vì AO là một phần của đường phân giác này nên nó đi qua trung điểm của BC và vuông góc với BC. d) Chứng minh CP = BQ:
Trong tam giác cân ABC, các đường phân giác xuất phát từ các góc đáy bằng nhau. Do đó, CP = BQ. e) APQ là tam giác gì? Tại sao?
Vì tam giác ABC cân tại A, và BQ và CP là phân giác góc, AP = AQ. Do đó, tam giác APQ là tam giác cân. Ngoài ra, vì ∠ABC = ∠ACB và ∠QBC = ∠PCB, nên ∠ABP = ∠ACQ. Với AB = AC, tam giác ABP và ACQ bằng nhau theo tiêu chuẩn góc-cạnh-góc. Do đó, AP = AQ.
Vì tam giác ABC cân tại A nên ∠ABC = ∠ACB. Vì BQ và CP là phân giác góc nên ∠OBC = 1/2∠ABC và ∠OCB = 1/2∠ACB. Do đó, ∠OBC = ∠OCB, khiến tam giác OBC cân tại O. b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB, AC và BC:
Vì O là giao điểm của hai đường phân giác BQ và CP nên nó là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác. c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với BC:
Trong tam giác cân ABC, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A cũng là đường trung tuyến và đường cao. Vì AO là một phần của đường phân giác này nên nó đi qua trung điểm của BC và vuông góc với BC. d) Chứng minh CP = BQ:
Trong tam giác cân ABC, các đường phân giác xuất phát từ các góc đáy bằng nhau. Do đó, CP = BQ. e) APQ là tam giác gì? Tại sao?
Vì tam giác ABC cân tại A, và BQ và CP là phân giác góc, AP = AQ. Do đó, tam giác APQ là tam giác cân. Ngoài ra, vì ∠ABC = ∠ACB và ∠QBC = ∠PCB, nên ∠ABP = ∠ACQ. Với AB = AC, tam giác ABP và ACQ bằng nhau theo tiêu chuẩn góc-cạnh-góc. Do đó, AP = AQ.
a) Vì OA = OC và OB = OD nên AD = OA - OD và BC = OC - OB.
Do đó, AD = BC.
b) Xét ΔOAD và ΔOCB:
OA = OC (cho trước)
∠O là góc chung
OD = OB (cho trước)
Do đó, ΔOAD = ΔOCB (SAS)
=> ∠OAD = ∠OCB
Ngoài ra, ∠OAD + ∠EAB = 180° (cặp góc thẳng hàng)
∠OCB + ∠ECD = 180° (cặp góc thẳng hàng)
=> ∠EAB = ∠ECD
Xét ΔABE và ΔCDE:
∠EAB = ∠ECD (đã chứng minh ở trên)
AB = CD (vì OA > OB và OC = OA, OD = OB => AB = OA - OB = OC - OD = CD)
∠ABE = ∠CDE (góc đối đỉnh)
Do đó, ΔABE = ΔCDE (g.c.g)
c) Vì ΔABE = ΔCDE (đã chứng minh ở trên) => AE = CE và BE = DE
Xét ΔOAE và ΔOCE:
OA = OC (gt)
OE là điểm chung
AE = CE (cmt)
Do đó, ΔOAE = ΔOCE (c.c.c)
=> ∠AOE = ∠COE
Do đó, OE là đường phân giác của góc xOy.
- a) ΔIOE = ΔIOF
Vì Om là phân giác của góc xOy nên ∠EOI = ∠FOI. IE ⊥ Ox tại E và IF ⊥ Oy tại F, do đó ∠IEO = ∠IFO = 90°.
Xét ΔIOE và ΔIOF, có :
OI là một mặt phổ biến.
∠EOI = ∠FOI (Om là đường phân giác của góc xOy)
∠IEO = ∠IFO = 90°.
Do đó, ΔIOE = ΔIOF (theo sự đồng dạng của cạnh huyền và góc cạnh huyền)
b) EF ⊥ Om
Vì ΔIOE = ΔIOF nên OE = OF (các cạnh tương ứng). Xét ΔOEF:
OE = OF, do đó ΔOEF là tam giác cân tại O
Trong ΔOEF, Om là phân giác của ∠EOF.
Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường phân giác của đáy. Do đó, Om ⊥ EF.
- a) ΔIOE = ΔIOF
Vì Om là phân giác của góc xOy nên ∠EOI = ∠FOI. IE ⊥ Ox tại E và IF ⊥ Oy tại F, do đó ∠IEO = ∠IFO = 90°.
Xét ΔIOE và ΔIOF, có :
OI là một mặt phổ biến.
∠EOI = ∠FOI (Om là đường phân giác của góc xOy)
∠IEO = ∠IFO = 90°.
Do đó, ΔIOE = ΔIOF (theo sự đồng dạng của cạnh huyền và góc cạnh huyền)
b) EF ⊥ Om
Vì ΔIOE = ΔIOF nên OE = OF (các cạnh tương ứng). Xét ΔOEF:
OE = OF, do đó ΔOEF là tam giác cân tại O
Trong ΔOEF, Om là phân giác của ∠EOF.
Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường phân giác của đáy. Do đó, Om ⊥ EF.
Vì góc BAC = 120 độ, góc CAH = 60 độ
Do AD là tia phân giác góc BAC nên :
góc DAC = 1/2 góc BAC = 60 độ
=) góc DAC = góc CAH
=) AC là tia phân giác
=) IE = IH và DI là tia phân giác góc ADC nên IE = IK
Vậy IH = IK
Vì góc BAC = 120 độ, góc CAH = 60 độ
Do AD là tia phân giác góc BAC nên :
góc DAC = 1/2 góc BAC = 60 độ
=) góc DAC = góc CAH
=) AC là tia phân giác
=) IE = IH và DI là tia phân giác góc ADC nên IE = IK
Vậy IH = IK
Vì góc BAC = 120 độ, góc CAH = 60 độ
Do AD là tia phân giác góc BAC nên :
góc DAC = 1/2 góc BAC = 60 độ
=) góc DAC = góc CAH
=) AC là tia phân giác
=) IE = IH và DI là tia phân giác góc ADC nên IE = IK
Vậy IH = IK
- Vì \(B M\) và \(C N\) là hai đường trung tuyến, nên điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\).
- Theo kiến thức đã học, trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành 2 đoạn, trong đó:
\(B G = \frac{2}{3} B M , C G = \frac{2}{3} C N\) - Xét tam giác \(B G C\), ta có:
- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại.
- Nên:
\(B G + C G > B C\) - Thay biểu thức \(B G = \frac{2}{3} B M\), \(C G = \frac{2}{3} C N\) vào, ta được:
\(\frac{2}{3} B M + \frac{2}{3} C N > B C\) - Rút gọn:
\(\frac{2}{3} \left(\right. B M + C N \left.\right) > B C\) - Chia cả hai vế cho 1:
\(B M + C N > \frac{2}{3} B C\)
Gọi điểm được đặt là M
=>ΔAMC vuông tại A
=>AC<AM
=>Ko nghe rõ được bởi AM>550m