Phân tích bài toán

• Sau 1 tháng thi công, công trình đã thực hiện được một phần khối lượng công việc.

• Nếu tiếp tục với tốc độ này, sau 23 tháng nữa, công trình sẽ hoàn thành.

• Nghĩa là tổng thời gian thi công theo tiến độ ban đầu sẽ là:

=> Tổng khối lượng công việc = 24 đơn vị (vì mỗi tháng theo tiến độ ban đầu làm 1 đơn vị công việc).

• Từ tháng thứ 2, công ty quyết định tăng 4% khối lượng công việc mỗi tháng so với tháng trước.

• Cần tìm tháng thứ sao cho tổng khối lượng công việc đạt 24 đơn vị.

Gọi các biến số

• Gọi khối lượng công việc tháng đầu tiên là .

• Từ tháng thứ 2 trở đi, khối lượng công việc tăng 4% mỗi tháng, nghĩa là:

• Dãy số này là cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: .

• Công bội: .

• Tổng khối lượng công việc sau tháng:

Công thức tổng của cấp số nhân là:

Tính toán giá trị

Lấy log hai vế:

Tra bảng logarithm:

Vì phải là số nguyên, làm tròn lên tháng.

Kết luận

Công trình sẽ hoàn thành vào tháng thứ 18 sau khi khởi công.

Bước 1: Xác định thông tin và hệ trục tọa độ

Ta chọn hệ trục tọa độ với:

• ,

• ,

• ,

• ,

• .

Do , ta có hình chóp đứng .

Bước 2: Tìm tọa độ điểm và

• là hình chiếu vuông góc của lên . Do nằm trên mặt phẳng , ta xét phương trình tham số của :

\[

SB: \begin{cases}

x = t a \\

y = 0 \\

z = t a\sqrt{3}

\end{cases}, \quad 0 \leq t \leq 1

\]

Vì là hình chiếu vuông góc của , vectơ phải vuông góc với , tức là . Giải hệ ta được .

• là hình chiếu vuông góc của lên . Tương tự cách trên, ta có:

Bước 3: Xác định góc giữa và mặt phẳng

• Vectơ chỉ phương của là:

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng được tìm bằng tích có hướng của hai vectơ và :

Tích có hướng:

Gọi .

• Góc giữa và mặt phẳng được xác định qua:

Sau khi tính toán, ta được:

Kết luận:

Để tìm góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang, ta có thể sử dụng các phương pháp lượng giác. Hãy gọi:

• m là chiều cao của thang.

• cm = 0.8 m là khoảng cách giữa hai chân thang.

• cm = 0.6 m là khoảng cách giữa hai ngọn thang.

• là chiều dài mỗi cạnh bên của thang.

• là góc cần tìm.

Bước 1: Tính chiều dài mỗi cạnh bên của thang

Vì thang có dạng hình thang cân, ta xét tam giác vuông được tạo bởi chiều cao , nửa khoảng cách giữa hai chân thang (), và cạnh bên của thang.

Nửa khoảng cách giữa hai chân thang:

Chiều dài cạnh bên của thang:

Bước 2: Tính góc bằng hàm lượng giác

Góc chính là góc tạo bởi cạnh bên của thang với mặt đất. Trong tam giác vuông có:

Tính giá trị gần đúng:

Kết luận:

Góc tạo bởi cạnh cột thang với mặt đất xấp xỉ 86.19° (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).