Xét 

Δ

ΔACB có AB là đường kính đường tròn ngoại tuyến

=>

Δ

ΔACB vuông tại C ( đ/lý đường tròn )

=>

A

C

B

^

=

9

0

o

ACB

 =90 

o

 (t/c 

Δ

Δvuông)

Có OA=OC=R

mà AC=R(gt)

=>OA=OC=AC

=>

Δ

ΔAOC đều (đ/n 

Δ

Δđều)

=>

C

A

O

^

=

6

0

o

CAO

 =60 

o

 (t/c 

Δ

Δđều)

=>

C

A

B

^

=

6

0

o

CAB

 =60 

o

 (O

∈

∈AB)

Xét 

Δ

ΔACB vuông tại C có 

C

A

B

^

+

C

B

A

^

=

9

0

o

CAB

 + 

CBA

 =90 

o

 (2 góc phụ nhau trong 

Δ

Δvuông )

=>60o+

C

B

A

^

CBA

 =90o(

C

A

B

^

=

6

0

o

CAB

 =60 

o

=>

C

B

A

^

CBA

 =30o

a) Ta có: 

O

A

′

O

A

=

r

R

;

O

B

′

O

B

=

r

R

,

  suy ra 

O

A

′

O

A

=

O

B

′

O

B

.

b) Xét ∆OAB có 

O

A

′

O

A

=

O

B

′

O

B

  nên AB // A’B’ (theo định lí Thalès đảo).

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. (1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật.

Khi đó, O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật) nên 

O

A

=

O

C

=

1

2

A

C

;

O

B

=

O

D

=

1

2

B

D

.

 (2)

Từ (1) và (2) ta có 

O

A

=

O

C

=

O

B

=

O

D

=

1

2

A

C

=

1

2

B

D

.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC, BD.

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên 

ˆ

A

D

C

=

90

°

.

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC2 = AD2 + DC2 = 182 + 122 = 468.

Do đó 

A

C

=

√

468

=

√

6

2

⋅

13

=

6

√

13

 (cm).

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D là 

1

2

A

C

=

1

2

⋅

6

√

13

=

3

√

13

 (cm).

a) Vì hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D nên C, D cùng nằm trên hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm), do đó AC = AD = 6 cm và BC = BD = 4 cm.

b) Do I là giao điểm của đường tròn (B; 4 cm) với đoạn thẳng AB nên I nằm giữa hai điểm A, B và I nằm trên đường tròn (B; 4 cm), do đó BI = 4 cm.

Vì I nằm giữa hai điểm A, B nên ta có: AI + IB = AB

Suy ra AI = AB – IB = 8 – 4 = 4 (cm).

Ta có I nằm giữa hai điểm A, B và AI = BI nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) Do K là giao điểm của đường tròn (A; 6 cm) với đoạn thẳng AB nên K nằm trên đường tròn (A; 6 cm), do đó AK = 6 cm.

Ta có AI < AK (4 cm < 6 cm) nên I nằm giữa hai điểm A, K.

Do đó AI + IK = AK

Suy ra IK = AK – AI = 6 – 4 = 2 (cm).

Vậy IK = 2 cm.

Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)

ME = MF (tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: AF // NE

Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A

Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

a/

BC cố định => B cố định

AB=4 cm không đổi

=> A chạy trên đường tròn tâm B bán kính AB

b/

Từ M dựng đường thẳng // AB cắt BC tại D

=> D là trung điểm của BC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> MD là đường trung bình của tg ABC => 

M

D

=

A

B

2

MD= 

2

AB

Ta có BC cố định =>D cố định

MD không đổi

=> M chạy trên đường tròn tâm D bán kính MD

a) Vì AB là dây cung của đường kính (O; R) nên ta có OA = OB = R.

Khi đó, O nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có M là trung điểm của AB nên M cũng nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Vì M là trung điểm của AB nên ta có 

M

A

=

M

B

=

A

B

2

=

8

2

=

4

 (cm).

Vì OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OM ⊥ AB hay ∆OAM vuông tại M.

Theo định lí Pythagore ta có: OA2 = OM2 + AM2

Suy ra OM2 = OA2 – AM2 = 52 – 42 = 9.

Do đó OM = 3 cm.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 3 cm.

Vì hai đường tròn (O; 2cm) và (A; 2cm) cắt nhau tại C nên:

- C thuộc (O; 2cm) ⇒ OC = 2cm do đó O thuộc (C; 2cm)

- C thuộc (A; 2cm) ⇒ AC = 2cm do đó A thuộc (C; 2cm)

Vậy đường tròn (C; 2cm) đi qua hai điểm O và A.