• Vì MM là trung điểm của BEBE và NN là trung điểm của CDCD, nên MNMN là đường trung bình của tam giác CBECBE.
• Theo tính chất đường trung bình, ta có: MN∥CEvaˋMN=12CE
•  
• Xét tam giác BCEBCE, hai đường trung tuyến BDBD và CECE cắt nhau tại trọng tâm GG.
• $M$ là trung điểm của BEBE, NN là trung điểm của CDCD, nên đường thẳng MNMN được chia thành ba đoạn bằng nhau tại II và KK.
• Theo tính chất của đường trung tuyến và trọng tâm trong tam giác, ta suy ra: MI=IK=KN.MI = IK = KN.

a, 

• $G$ là trọng tâm của tam giác ABCABC, do đó nó chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ: BG:GM=2:1,CG:GN=2:1.
• Vì DD là trung điểm của GBGB và EE là trung điểm của GCGC, ta có: GD=DB=12GB,GE=EC=12GC.
• Trong tam giác BGCBGC, đoạn DEDE nối trung điểm của hai cạnh nên theo định lý đường trung bình, ta suy ra: DE∥BCvaˋDE=12BC
• Ta cũng có $MN$ là đường trung bình của tam giác ABCABC, nên: MN∥BCvaˋMN=12BC.
• Từ hai điều trên, suy ra: MN∥DE.
• Vậy MN//DE
• b,
• Xét tam giác BGNBGN, ta có DD là trung điểm của GBGB và EE là trung điểm của GCGC.
• Do đó, đoạn thẳng DEDE là đường trung bình của tam giác BGNBGN, suy ra: DE∥GNvaˋDE=12GN.DE \parallel GN \quad \text{và} \quad DE = \frac{1}{2} GN.
• Xét tam giác CGMCGM, ta có DD là trung điểm của GBGB và EE là trung điểm của GCGC, nên MEME là đường trung bình của tam giác $CGM$, suy ra: ME∥GN.
• Từ hai điều trên, ta suy ra: ND∥ME. 
• vậy ND//MEND \parallel ME.

a, 

• Vì ADAD là trung tuyến của tam giác ABCABC, nên ta có: BD=DC.BD = DC.
• Điểm MM chia ACAC theo tỷ lệ: AMMC=12.\frac{AM}{MC} = \frac{1}{2}.
• Xét đường chéo BMBM trong tam giác ABCABC, ta thấy BMBM chia ACAC thành hai phần có tỷ lệ AM:MC=1:2AM:MC = 1:2
• Theo tính chất đường trung tuyến và đường chia tỷ lệ trong tam giác, ta có:
  • OO là trung điểm của ADAD, vì OO là điểm chia đều đoạn thẳng khi MM chia ACAC theo tỷ lệ 1:21:2

Vậy

O laˋ trung điểm của AD.

b,              

• Vì OO là trung điểm của ADAD, ta xét tam giác ABMABM và đường trung tuyến OMOM trong tam giác này.
• Ta có: AM=12MC⇒M chia AC theo tỷ lệ 1:2.
• Sử dụng tính chất đường trung bình, ta suy ra: OM=14BM.

Vậy 

OM=14BM.OM = \frac{1}{4} BM.

• a, Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$.
• $I$ là trung điểm của $AM$, nên $I$ chia $AM$ thành hai đoạn bằng nhau: AI=IM=1/2 AMAI = IM = \frac{1}{2} AM
• Xét tam giác $ABC$, đường trung tuyến $AM$ và đường trung bình $BI$ (vì $I$ là trung điểm của $AM$).
• Đường trung tuyến $BI$ cắt $AC$ tại $D$, và do tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: AD=12DC 
• Vậy ta đã chứng minh được AD=12DCAD = \frac{1}{2} DC
• b,
• Xét tam giác $ABC$, đường trung tuyến AMAM và đường trung bình BIBI, ta có DD là điểm chia ACAC theo tỷ số AD=12DCAD = \frac{1}{2} DC
• Trong tam giác BICBIC, vì DD nằm trên ACAC và chia ACAC theo tỷ lệ $1:2$, ta có: BD>IDBD > ID
• Vì DD là trọng tâm của tam giác BICBIC, nên BDBD lớn hơn ID
• vậy BD > ID