Trong ΔABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB

D là trung điểm của cạnh AC

Nên ED là đường trung bình của ΔABC

⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC(tính chất đường trung bình của tam giác)

+) Tứ giác BCDE có ED // BC nên BCDE là hình thang.

Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE

M là trung điểm cạnh bên BE

N là trung điểm cạnh bên CD

Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE ⇒ MN // DE

(tính chất đường trung bình hình thang)

Trong ΔBED, ta có: M là trung điểm BE

MI // DE

Suy ra: MI là đường trung bình của ΔBED

⇒ MI = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong ΔCED ta có: N là trung điểm CD

NK // DE

Suy ra: NK là đường trung bình của ΔCED

⇒ NK = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

IK = MN – (MI + NK) = 3/4 BC – (1/4 BC + 1/4 BC) = 1/4 BC

⇒ MI = IK = KN = 1/4 BC

a/

Xét ∆ ABC có

NA=NB

MA=MC

=> MN là đường trung bình của ∆ ABC => MN//BC

Xét ∆ GBC có

DG=DB

EG=EC

=> DE là đường trung bình của ∆ GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/

Xét ∆ ABG có

NA=NB

DG=DB

=> ND là đường trung bình của ∆ ABG => ND//AG

Xét ∆ ACG có

MA=MC

EG=EC

=> ME là đường trung bình của ∆ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)

a, Lây H là trung điểm MC

Xét ΔMBC có D,H là trung điểm BC, MC

=> DH là đường trung bình

=> DH// BM hay DH// OM

Có H là trung điểm MC => MH= HC= 1/2. MC

Mà AM= 1/2. MC

=> AM= MH => M là trung điểm AH

Xét ΔADH có OM// DH. M là tđ AH

=> O là trung điểm AD (đpcm)

b, Có DH là đường trung bình ΔMBC => DH= 1/2. BM

Xét ΔADH có O, M là tđ AD, AH

=> OM là đường trung bình ΔADH

=> OM= 1/2. DH= 1/4. BM

Từ M kẻ MK // BD (K thuộc DC)

Xét ∆DBC có: MK // BD, MB = MC (theo gt)

Suy ra MK là đường trung bình của ∆DBC

Suy ra CK = DK (1)

Xét ∆AMK có: MK // ID, IA = IM (theo gt)

Suy ra ID là đường trung bình của ∆AMK

Suy ra DA = DK (2)

Từ (1) và (2)suy ra CK = DA

Mà CK = DC/2

Vật AD=1/2 DC