VÌ GM//AB, áp dụng định lý Thalès trong tam giác ABM, ta có:

BG/GA=BM/AM(1)

TRọng tâm G chia trung tuyến AM theo tỉ lệ 1:2.Do đó, AG =2/3 AM  và GM=1/3AM(2)

Từ (1);(2) ,ta có : 

BG/GA=BM/AM=1/2

Vì AG=2/3AM.Suy ra BG=1/3AM

Từ BM/AM=1/2, ta có BM=1/2AM.Mà AM=3/2BM,thay vào BM=1/3 BC (vì AM là trung tuyến).

Vậy BM =1/3 BC

Xét tam giác ABD có MN//AB (GT)

=> MN/AB=DN/DB ( Hệ quả của định lý Thalès ) (1)

Xét tam giác BDC có NQ//DC ( cùng song song với AB) 

=> DN/DB=CQ/CB (Hệ quả của định lý Thalès) (2)

Xét tam giác ABC có PQ//AB(GT)

=> CQ/CB=PQ/AB (Hệ quả định lý Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN/AB = PQ => MN = PQ

Ta có: AB//CD(GT)

Áp dụng định lý thalès, ta có:

Suy ra: OA/OC=OB/OD ( Hệ quả định lý Thalès)

=> OA.OD=OB.OC

Áp dụng định lý Thalès, ta có:

Vì DE//AC nên AE/AB=CD/BC

Vì DF//AC nên AF/AC=BD/BC

Khi đó, AE/AB+AF/AC=CD/BC+BD/BC=1