a) $P=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}-\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{45}+\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{9}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{12}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{35}$ $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{12}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{9}-\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{45}\right)+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{35}=1+\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{5}+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{35}=2\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{35}$.

b) $Q=(5-6-2)+\left(-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}-\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}+\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{5}+\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}-\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{5}\right)=-\left(3+\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}+\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5}\right)$ $=-\genfrac{}{}{0ex}{}{113}{20}$.

a) $A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{15}+\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{15}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{7}+1\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{7}\right)=1-1+1=1$;
b) $\mathrm{B}=\left(0.25-1\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{5}\right)-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}$
$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}-1-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right)+1-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{8}$

Có $\widehat{BOC}$ và $\widehat{BOD}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{BOC}+\widehat{BOD}=180^{\circ }$.

Vì $OM$ là tia phân giác của $\widehat{BOC}$ nên $\widehat{COM}=\widehat{MOB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{BOC}$;

$ON$ là tia phân giác của góc $\widehat{BOD}$ nên $\widehat{DON}=\widehat{NOB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{BOD}.$

Mà tia $OB$ nằm giữa tia $OM$ và $ON$.

Suy ra $\widehat{MON}=\widehat{MOB}+\widehat{NOB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}(\widehat{BOC}+\widehat{BOD})=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}.180^{\circ }=90^{\circ }$.

Mặt khác $\widehat{MOP}=90^{\circ }$ (tia $OP$ vuông góc $OM$ ).

Suy ra $\widehat{MON}+\widehat{MOP}=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$.

Mà hai tia $OP$ và $ON$ nằm trền hai nửa mặt phẳng bờ $OM$ nên hai tia $OP$ và $ON$ là hai tia đối nhau.

Kết hợp $OC$ và $OD$ là hai tia đối nên suy ra $\widehat{COP}$ và $\widehat{DON}$ là hai góc đối đỉnh.

Vơi $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta có $2n$ tia chung gồc.

Chọn $1$ tia trong $2n$ tia chung gốc đó, tạo với $2n-1$ tia còn lại, ta được $2n-1$ (góc).

Làm như vậy với $2n$ tia chung gốc, ta được $2n.(2n-1)$ (góc).

Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là $\genfrac{}{}{0ex}{}{2n.(2n-1)}{2}=n.(2n-1)$ (góc).

Vì có $n$ đường thẳng nên sẽ có $n$ góc bẹt.

Do đó số góc khác góc bẹt là $n.(2n-1)-n=n.(2n-2)$ (góc).

Mỗi góc trong số $n.(2n-2)$ góc đó đều có một góc đối đỉnh với nó.

Suy ra số cặp góc đối đỉnh là $\genfrac{}{}{0ex}{}{n(2n-2)}{2}=n.(n-1)$.

Vậy với $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được $n.(n-1)$ cặp góc đối đỉnh.

Vi $\widehat{xON}$ và $\widehat{x^{\prime }ON}$ kề bù nên $\widehat{xON}+\widehat{x^{\prime }ON}=180^{\circ }$.

Mà $\widehat{xON}=90^{\circ }$ nên $\widehat{x^{\prime }ON}=90^{\circ }$.

Vì tia $OP$ là tia phân giác của góc $\widehat{x^{\prime }ON}$ nên $\widehat{x^{\prime }OP}=\widehat{PON}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{x^{\prime }ON}=45^{\circ }$.

Mặt khác hai tia $OP$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $x{x}^{\prime }$ nên $\widehat{MOP}=\widehat{PON}+\widehat{xON}+\widehat{xOM}=45^{\circ }+90^{\circ }+45^{\circ }=180^{\circ }$.

Suy ra hai tia $OP$ và $OM$ là hai tia đối nhau. Mà $Ox$ và $O{x}^{\prime }$ là hai tia đối nhau.

Suy ra $\widehat{xOM}$ và $\widehat{x^{\prime }OP}$ là hai góc đối đỉnh.

Vi $O$ nằm trên đường thẳng $x{x}^{\prime }$ nên hai tia $Ox$ và $O{x}^{\prime }$ là hai tia đối nhau. (1)

Do $ON$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $Ox$ nên tia $Ox$ nằm giữa $ON$ và $OM$.

Suy ra $\widehat{xOM}+\widehat{xON}=140^{\circ }+40^{\circ }=180^{\circ }$.

Vậy $\widehat{xOM}$ và $\widehat{xON}$ là hai góc kề bù.

Suy ra hai tia $OM$ và $ON$ đối nhau. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\widehat{xON}$ và $\widehat{x^{\prime }OM}$ là hai góc đối đỉnh.

Vì $\widehat{AOD}$ và $\widehat{BOC}$ đối đỉnh nên $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$.

Mà $\widehat{AOD}+\widehat{BOC}=100^{\circ }$ nên $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=100^{\circ }:2=50^{\circ }$.

Lại có $\widehat{BOD}$ và $\widehat{BOC}$ kề bù nên $\widehat{BOD}+\widehat{BOC}=180^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{BOD}=180^{\circ }-\widehat{BOC}=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}=130^{\circ }$ (hai góc đối đinh).

GT: a và b phân biệt   

        a // c     

        b//c

KL: a//b

GT: góc O1+ góc O2= 90 độ

góc O2+ góc O3= 90 độ

KL: góc O1= góc O3

a, bằng nhau

b, vuông góc