Tính số lần bán rã:

\(n = \frac{t}{T} = \frac{276}{138 , 4} = 2 (\text{l} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n})\)

Sau 2 lần bán rã, lượng \(^{210} \text{Po}\) còn lại:

\(\frac{N}{N_{0}} = \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4} = 25 \% .\)

3. Xét khối lượng ban đầu:

• Giả sử tổng khối lượng mẫu ban đầu là \(100\text{g}\):
• • \(m_{Po}^0=50\text{g}\) (50%),
  • Tạp chất = \(50\text{g}\).

4. Khối lượng \(^{210} \text{Po}\) còn lại sau 276 ngày:

\(m_{Po}=50\times25\%=12,5\text{g}.\)

5. Khối lượng \(^{206} \text{Pb}\) tạo thành:

• Cứ 210 g \(^{210} \text{Po}\) phân rã tạo ra 206 g \(^{206} \text{Pb}\).
• Lượng \(^{210} \text{Po}\) đã phân rã:

\(\Delta m_{Po}=50-12,5=37,5\text{g}.\)

• Khối lượng \(^{206} \text{Pb}\) sinh ra:

\(m_{Pb}=37,5\times\frac{206}{210}\approx36,79\text{g}.\)

6. Tổng khối lượng mẫu sau 276 ngày:

\(m_{\text{t}ổ\text{ng}}=m_{Po}+m_{Pb}+m_{\text{t}ạ\text{p ch}\overset{ˊ}{\hat{\text{a}}}\text{t}}=12,5+36,79+50=99,29\text{g}.\)

7. Phần trăm \(^{210} \text{Po}\) còn lại:

\(\% m_{P o} = \frac{12 , 5}{99 , 29} \times 100 \% \approx 12 , 59 \% .\)

Phân tích biến đổi số khối (A) và số proton (Z):

• Số khối giảm:
  \(\Delta A = 235 - 207 = 28\)
  → Mỗi hạt \(\alpha\) làm giảm 4 đơn vị số khối.
  → Số hạt \(\alpha\):
  \(n_{\alpha} = \frac{\Delta A}{4} = \frac{28}{4} = 7 (\text{h}ạ\text{t})\)
• Số proton giảm:
  \(\Delta Z = 92 - 82 = 10\)
  → Mỗi hạt \(\alpha\) làm giảm 2 proton, mỗi hạt \(\beta^{-}\) làm tăng 1 proton.
  → Gọi \(n_{\beta}\) là số hạt \(\beta^{-}\), ta có phương trình:
  \(2 n_{\alpha} - n_{\beta} = \Delta Z\)
  Thay \(n_{\alpha} = 7\):
  \(2 \times 7 - n_{\beta} = 10 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } n_{\beta} = 14 - 10 = 4 (\text{h}ạ\text{t})\)

2. Kết luận:

• Số hạt \(\alpha\): 7 hạt.
• Số hạt \(\beta^{-}\): 4 hạt.

• Độ phóng xạ giảm \(93 , 75 \%\) → Còn lại:
  \(H = H_{0} \times \left(\right. 100 \% - 93 , 75 \% \left.\right) = H_{0} \times 6 , 25 \%\)
• Tỉ lệ độ phóng xạ còn lại:
  \(\frac{H}{H_{0}} = 6 , 25 \% = \frac{1}{16}\)

3. Liên hệ với số lần bán rã:

• Độ phóng xạ tỉ lệ với số hạt nhân chưa phân rã:
  \(\frac{N}{N_{0}} = \frac{1}{16} = \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{n}\)
• Suy ra số lần bán rã \(n\):
  \(n=4(\text{v}\overset{ˋ}{\imath}2^4=16)\)

4. Tính chu kỳ bán rã \(T\):

• Thời gian quan sát \(t = n \times T\):
  \(15,2=4\times T\textrm{ }\Longrightarrow\textrm{ }T=\frac{15 , 2}{4}=3,8\text{ng}\overset{ˋ}{\text{a}}\text{y}\)

5. Kiểm tra bằng công thức phân rã:

\(\frac{N}{N_{0}} = e^{- \lambda t} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{16} = e^{- \lambda \times 15 , 2}\)

Lấy logarit tự nhiên:

\(ln ⁡ \left(\right. \frac{1}{16} \left.\right) = - \lambda \times 15 , 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \lambda = \frac{ln ⁡ \left(\right. 16 \left.\right)}{15 , 2}\)

Chu kỳ bán rã:

\(T=\frac{ln ⁡ \left(\right. 2 \left.\right)}{\lambda}=\frac{ln ⁡ \left(\right. 2 \left.\right) \times15 , 2}{ln ⁡ \left(\right. 16 \left.\right)}=\frac{0 , 693 \times15 , 2}{2 , 772}\approx3,8\text{ng}\overset{ˋ}{\text{a}}\text{y}\)

Kết luận:

Chu kỳ bán rã của \(^{222} \text{Rn}\) là \(\boxed{3,8\text{ng}\overset{ˋ}{\text{a}}\text{y}}\).

Tính số mol hiện tại:

• Khối lượng mol \(^{238} \text{U}\): \(M_{U}=238\text{g}/\text{mol}\).
• Khối lượng mol \(^{206} \text{Pb}\): \(M_{Pb}=206\text{g}/\text{mol}\).

Số mol hiện tại:

\(n_{U}=\frac{46,97\text{mg}}{238\text{g}/\text{mol}}=\frac{46 , 97 \times1 0^{- 3}}{238}\approx1,974\times10^{-4}\text{mol}\)\(n_{Pb}=\frac{23,15\text{mg}}{206\text{g}/\text{mol}}=\frac{23 , 15 \times1 0^{- 3}}{206}\approx1,124\times10^{-4}\text{mol}\)

3. Tính số mol \(^{238} \text{U}\) ban đầu (\(N_{0}\)):

Vì mỗi phân rã \(^{238} \text{U}\) tạo ra 1 nguyên tử \(^{206} \text{Pb}\), nên:

\(N_0=n_{U}+n_{Pb}=1,974\times10^{-4}+1,124\times10^{-4}=3,098\times10^{-4}\text{mol}\)

4. Áp dụng định luật phân rã phóng xạ:

\(N \left(\right. t \left.\right) = N_{0} \cdot e^{- \lambda t}\)

Trong đó:

• \(N\left(\right.t\left.\right)=n_{U}=1,974\times10^{-4}\text{mol}\),
• \(\lambda=\frac{ln ⁡ 2}{T}=\frac{0 , 693}{4 , 47 \times1 0^{9}}\approx1,55\times10^{-10}\left(\text{n}\overset{ }{\text{a}}\text{m}\right)^{-1}\).

Thay vào:

\(1 , 974 \times 1 0^{- 4} = 3 , 098 \times 1 0^{- 4} \cdot e^{- 1 , 55 \times 1 0^{- 10} \cdot t}\)\(\frac{1 , 974}{3 , 098} = e^{- 1 , 55 \times 1 0^{- 10} \cdot t}\)\(0 , 637 = e^{- 1 , 55 \times 1 0^{- 10} \cdot t}\)

Lấy ln hai vế:

\(ln ⁡ \left(\right. 0 , 637 \left.\right) = - 1 , 55 \times 1 0^{- 10} \cdot t\)\(- 0 , 451 = - 1 , 55 \times 1 0^{- 10} \cdot t\)\(t=\frac{0 , 451}{1 , 55 \times1 0^{- 10}}\approx2,91\times10^9\text{n}\overset{ }{\text{a}}\text{m}\)

Tuổi của khối đá là \(\boxed{2 , 91}\) tỉ năm.

• 1 Ci = \(3 , 7 \times 1 0^{10}\) phân rã/giây.
• 1 \(\mu\)Ci = \(3 , 7 \times 1 0^{4}\) phân rã/giây.
• 2 \(\mu\)Ci = \(7 , 4 \times 1 0^{4}\) phân rã/giây.
• 502 phân rã/phút = \(\frac{502}{60} \approx 8 , 367\) phân rã/giây.

3. Tính độ phóng xạ còn lại sau 7,5 giờ:

Chu kỳ bán rã \(T = 15\) giờ, suy ra hằng số phân rã:

\(\lambda=\frac{ln ⁡ 2}{T}=\frac{0 , 693}{15}\approx0,0462\text{ gi}ờ^{-1}\)

Độ phóng xạ sau thời gian \(t = 7 , 5\) giờ:

\(H \left(\right. t \left.\right) = H_{0} \cdot e^{- \lambda t}\)\(H \left(\right. 7 , 5 \left.\right) = 7 , 4 \times 1 0^{4} \cdot e^{- 0 , 0462 \times 7 , 5}\)\(H \left(\right. 7 , 5 \left.\right) = 7 , 4 \times 1 0^{4} \cdot e^{- 0 , 3465}\)\(H\left(\right.7,5\left.\right)\approx7,4\times10^4\cdot0,707\approx5,23\times10^4\text{ ph}\hat{\text{a}}\text{n r}\overset{\sim}{\text{a}}/\text{gi}\hat{\text{a}}\text{y}\)

4. Tính thể tích máu \(V\):

Giả sử đồng vị phóng xạ phân bố đều trong máu, ta có:

\(\frac{H_{\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{u}}}{H \left(\right. t \left.\right)}=\frac{1\text{ cm}^3}{V}\)\(V=\frac{H \left(\right. t \left.\right)}{H_{\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{u}}}\cdot1\text{ cm}^3\)\(V=\frac{5 , 23 \times1 0^{4}}{8 , 367}\approx6252\text{ cm}^3\)

Đổi sang lít (1 lít = 1000 cm³):

\(V\approx6,25\text{ l}\overset{ˊ}{\imath}\text{t}\)

a) Tính bán kính hạt nhân nguyên tử Ra-226

Công thức tính bán kính hạt nhân:

\(r = r_{0} \cdot A^{1 / 3}\)

Trong đó:

• \(r_{0} = 1 , 4 \times 1 0^{- 15}\) m
• \(A = 226\) (số khối của Ra-226)

Thay số:

\(r = 1 , 4 \times 1 0^{- 15} \cdot 22 6^{1 / 3}\)

Tính \(22 6^{1 / 3}\):

\(22 6^{1 / 3} \approx 6 , 09\)

Vậy:

\(r\approx1,4\times10^{-15}\cdot6,09\approx8,53\times10^{-15}\text{ m}\)

Kết luận: Bán kính hạt nhân của Ra-226 là \(\boxed{8,53\times10^{-15}\text{ m}}\).

b) Tính năng lượng liên kết và năng lượng liên kết riêng

1. Tính độ hụt khối (\(\Delta m\))

Ra-226 có:

• Số proton \(Z = 88\)
• Số neutron \(N = A - Z = 226 - 88 = 138\)

Độ hụt khối:

\(\Delta m = Z \cdot m_{p} + N \cdot m_{n} - m_{\text{Ra}}\)

Trong đó:

• \(m_{p} = 1 , 007276\) amu
• \(m_{n} = 1 , 008665\) amu
• \(m_{\text{Ra}} = 226 , 0254\) amu

Thay số:

\(\Delta m = 88 \cdot 1 , 007276 + 138 \cdot 1 , 008665 - 226 , 0254\)\(\Delta m = 88 , 640288 + 139 , 19577 - 226 , 0254\)\(\Delta m=1,810658\text{ amu}\)

2. Tính năng lượng liên kết (\(E_{\text{lk}}\))

1 amu tương đương với 931,5 MeV, do đó:

\(E_{\text{lk}}=\Delta m\cdot931,5\text{ MeV}/\text{amu}\)\(E_{\text{lk}}=1,810658\cdot931,5\approx1686,6\text{ MeV}\)

3. Tính năng lượng liên kết riêng (\(E_{\text{lk ri}\hat{\text{e}}\text{ng}}\))

Năng lượng liên kết riêng là năng lượng liên kết trên một nuclôn:

\(E_{\text{lk ri}\hat{\text{e}}\text{ng}}=\frac{E_{\text{lk}}}{A}=\frac{1686 , 6}{226}\approx7,46\text{ MeV}/\text{nucl}\hat{\text{o}}\text{n}\)