a) \(\Delta A I E \sim \Delta A C I\) (g.g) suy ra \(\frac{A I}{A C} = \frac{A E}{A I}\) hay \(A I^{2} = A E . A C\) (1)

Chứng minh tương tự:

\(\Delta A I K \sim \Delta A K B\) (g.g) suy ra \(\frac{A K}{A B} = \frac{A F}{A K}\) hay \(A K^{2} = A B . A F\) (2)

Mà \(\Delta A B E \sim \Delta A C F\) (g.g) suy ra \(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F}\) hay \(A B . A F = A C . A E\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(A I^{2} = A K^{2}\) suy ra \(A I = A K\).

b) Vì \(\hat{A} = 60^{\circ}\) suy ra \(\hat{B_{1}} = 30^{\circ}\)

Trong tam giác \(A B E\) vuông tại \(E\) nên \(A E = \frac{1}{2} A B ,\)

Trong tam giác \(A F C\) vuông tại \(F\) có \(\hat{C_{1}} = 30^{\circ}\) suy ra \(A F = \frac{1}{2} A C\).

Do đó, \(\Delta A E F \sim \Delta A B C\) (c.g.c).

suy ra \(\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = \left(\left(\right. \frac{A E}{A B} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4}\).

Vậy \(S_{A E F} = \frac{1}{4} . 120 = 30\) cm\(^{2}\).

Gọi \(B F\) cắt \(D C\) tại \(K\), \(B E\) cắt \(D C\) tại \(I\), và \(E F\) cắt \(A B\) tại \(G\).

\(\Delta F A B\) có \(D K\) // \(A B\) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{F D}{F A}\) (1)

\(\Delta F A G\) có \(D H\) // \(A G\) suy ra \(\frac{D H}{A G} = \frac{F D}{F A}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{D H}{A G}\) hay \(\frac{D K}{D H} = \frac{A B}{A G}\) (*)

Tương tự \(\Delta E I C\) có \(A B\) // \(I C\) suy ra \(\frac{I C}{A B} = \frac{E C}{E A}\) (3)

\(\Delta E H C\) có \(H C\) // \(A B\) suy ra \(\frac{H C}{A G} = \frac{E C}{E A}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{I C}{A B} = \frac{H C}{A G}\) hay \(\frac{I C}{H C} = \frac{A B}{A G}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{D K}{D H} = \frac{I C}{H C}\).

Mà \(D H = H C\) (gt) suy ra \(D K = I C\)

Mặt khác \(B D = B C\) (gt) nên \(\Delta B D C\) cân

Suy ra \(\hat{B D K} = \hat{B C I}\)

Vậy \(\Delta B D K = \Delta B C I\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{D B K} = \hat{C B I}\).

a) \(\Delta A B E\) có \(A M\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{E B}{E D}\) (1)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B K\) suy ra \(\frac{E B}{E D} = \frac{E K}{E A}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{A E}{E G} = \frac{E K}{E A}\) nên \(A E^{2} = E K . E G\).

b) Từ \(\frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\) suy ra \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = 1\)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A E}{E K} = \frac{E D}{E B}\)

     \(\frac{A E}{A E + E K} = \frac{E D}{E D + E B}\)

     \(\frac{A E}{A K} = \frac{E D}{D B}\) (3)

Tương tự \(\Delta A E B\) có \(A B\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{B E}{E D}\)

     \(\frac{A E}{A E + E G} = \frac{B E}{B E + E D}\)

     \(\frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}\) (4)

Khi đó \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = \frac{E D}{B D} + \frac{B E}{B D} = 1\).

c) Ta có \(\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{C G}\) suy ra \(B K = \frac{K C . A B}{C G}\) và \(\frac{K C}{A D} = \frac{C G}{D G}\).

Suy ra \(D G = \frac{A D . C G}{K C}\)

Nhân theo vế ta được \(B K . D G = A B . A D\) không đổi.

Hướng dẫn giải:

Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(B C\) cắt \(B B^{'}\) tại \(D\) và cắt \(C C^{'}\) tại \(E\).

Khi đó 

\(\Delta A M E\) có \(A E\) // \(A^{'} C\) suy ra \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{A E}{A^{'} C}\) (1)

\(\Delta A M D\) có \(A D\) // \(A^{'} B\) suy ra \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{A D}{A^{'} B}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{A E}{A^{'} C} = \frac{A D}{A^{'} B} = \frac{A D + A E}{A^{'} C + A^{'} B} = \frac{D E}{B C}\) (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\(\Delta A B^{'} D\) có \(A D\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A B^{'}}{B^{'} C} = \frac{A D}{B C}\) (3)

\(\Delta A C^{'} E\) có \(A E\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A C^{'}}{C^{'} B} = \frac{A E}{B C}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{A B^{'}}{B^{'} C} + \frac{A C^{'}}{B C^{'}} = \frac{A D}{B C} + \frac{A E}{B C} = \frac{D E}{B C}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{D E}{B C} = \frac{A B^{'}}{B^{'} C} + \frac{A C^{'}}{B C^{'}}\) (đpcm).

Hướng dẫn giải:

3−11.3+5−33.5+7−55.7+…+101−9999.1011.33−1​+3.55−3​+5.77−5​+…+99.101101−99​

=31.3−11.3+53.5−33.5+75.7−55.7+…+10199.101−9999.101=1.33​−1.31​+3.55​−3.53​+5.77​−5.75​+…+99.101101​−99.10199​ 

=1−13+13−15+15−17+…+199−1101=1−31​+31​−51​+51​−71​+…+991​−1011​

=1−1101=100101=1−1011​=101100​

Vậy 21.3+23.5+25.7+…+299.101=1001011.32​+3.52​+5.72​+…+99.1012​=101100​.

a) Tập hợp các điểm thuộc đoạn thẳng $BD$ là $B;C;D$, tập hợp các điểm thuộc không đoạn thẳng $BD$ là $A;E$.

b) Cặp đường thẳng song song là $AB$ // $DE$.

c) Gợi ý: Liệt kê theo các giao điểm, có 5 giao điểm nên có 5 cặp đường thẳng cắt nhau.

Các cặp đường thẳng cắt nhau là

$AB$ và $AE$ cắt nhau tại $A$.

$BA$ và $BD$ cắt nhau tại $B$.

$AE$ và $BD$ cắt nhau tại $C$.

$DE$ và $DB$ cắt nhau tại $D$.

$EA$ và $ED$ cắt nhau tại $E$.

2)

Độ dài của đoạn thẳng $AB$ là:

$6-4=2$ (cm)

Độ dài đoạn thẳng $AM$ là:

$2:2=1$ (cm)

Độ dài đoạn thẳng $OM$ là:

$4+1=5$ (cm)

Đáp số: $5$ cm.

a) So sánh ba phân số, ta được

527<29<13275​<92​<31​

Vậy trong một giờ, đội thứ ba làm được ít phần công việc nhất, đội thứ hai làm được nhiều công việc nhất.

b) Nếu làm trung, cả ba đội làm được

527+29+ 13=2027275​+92​+ 31​=2720​ (công việc)

a) x−23=−512x−32​=12−5​

x=−512+23x=12−5​+32​

x=−512+812x=12−5​+128​

x=−5+812x=12−5+8​

x=312x=123​

x=14x=41​

b) 85:x=−2358​:x=3−2​

x=85:( −23)x=58​:( 3−2​)

x=85. ( 3−2)x=58​. ( −23​)

x=−125x=5−12​

c) 1−37.x=−271−73​.x=−72​

37.x=1−(−27)73​.x=1−(−72​)

37.x=9773​.x=79​

x=97:37x=79​:73​

x=97.73x=79​.37​

$x=3$

a) −27+27:357−2​+72​:53​

=−27+27.53=7−2​+72​.35​

=−27+1021=7−2​+2110​

=−621+1021=21−6​+2110​

=421=214​

b)−819+−421−1721+271919−8​+21−4​−2117​+1927​

=−819+−421+−1721+2719=19−8​+21−4​+21−17​+1927​

=(−819+2719)+(−421+−1721 )=(19−8​+1927​)+(21−4​+21−17​ )

=−8+2719+(−4)+(−17)21=19−8+27​+21(−4)+(−17)​

=1919+−2121=1919​+21−21​

$=1-1=0$

c) 65.313−65.161356​.133​−56​.1316​

=65.(313−1613 )=56​.(133​−1316​ )

=65.(3−1613)=56​.(133−16​)

=65.(−1313)=56​.(13−13​)

=65.(−1)=56​.(−1)

=−65.=5−6​.

a) (6x³y²-27x³y): 3xy= 2x²y-9x²

b)

b) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3^2}{x}^4\right).\left(3y{x}^5\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{9}.3\right)\left(x^4\cdot x^5\right)y=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}{x}^{9}y$.

c) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{x^2-4}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x+2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{(x-2)(x+2)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x+2}{(x-2)(x+2)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x-2}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+x+2+x-2}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+2x}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-2}$.

d) $\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x-y}-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y-x}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{x+y}-\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x-y}-\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y-x}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x-y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y-x}\right)+\left(-\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}\right)+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x+y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x+y}$.