Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$$(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

$\Delta ABC\perp B$ nên 

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

$A{C}^2=a^2+b^2$

$\to AC=\sqrt{a^2+b^2}$

Hay $OA=OC=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.\sqrt{a^2+b^2}$

Hay tâm là $O$ bán kính $\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó $B^{\prime }O=\frac{1}{2}BC.$

Mà O là trung điểm của BC nên $OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Do đó $B^{\prime }O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có $C^{\prime }O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra $B^{\prime }O=C^{\prime }O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.

Gọi O là trung điểm của AC. Khi đó OA = OC =- AC. Xét AABC vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền AC, do
đó BO =
FAC.
Suy ra OA = OB = OC =-
ZAC. (1)
Chứng minh tương tự đối với AADC vuông tại D, ta cũng có:
OA = OD= 0C=
ZAC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA = OB= OC =0D=
- AC.
2
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính AC.