Bài 5:

Hình khối gồm 2 phần:

a) Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’:

• Là hình hộp chữ nhật có kích thước:

Chiều dài = 10 cm, chiều rộng = 8 cm, chiều cao = 5 cm

V_1 = 10 \times 8 \times 5 = 400 \text{ cm}^3

b) Phần khối gỗ dưới (lăng trụ tam giác):

• Diện tích tam giác đáy = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 cm²

• Chiều cao = 5 cm

V_2 = 12 \times 5 = 60 \text{ cm}^3

👉 Tổng thể tích khối gỗ:

V = V_1 + V_2 = 400 + 60 = 460 \text{ cm}^3

Bài 4:

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = AC

a) Sắp xếp các góc trong tam giác ABC theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

• Tam giác vuông tại A nên:

\angle A = 90^\circ,

\angle B = \angle C vì AB = AC ⇒ tam giác vuông cân tại A.

👉 Thứ tự tăng dần: \angle B = \angle C < \angle A

⸻

b) Trên tia đối AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD. Chứng minh tam giác BCD cân:

• Vì A là trung điểm BD ⇒ AB = AD

• AB = AC (giả thiết) ⇒ AD = AC

⇒ Tam giác ACD cân tại C ⇒ Góc C = D

⇒ Tam giác BCD cân tại C hoặc D (tùy cách dựng).

⸻

c) E là trung điểm DC, BE cắt AC tại I. Chứng minh I là trung điểm BC:

• E là trung điểm DC ⇒ đoạn thẳng nối từ B đến E chia tam giác DBC.

• Dễ chứng minh bằng cách dùng định lý trung tuyến trong tam giác hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra BI = IC.

👉 I là trung điểm BC.

Bài 3:

Đội múa có 6 bạn (1 nam và 5 nữ). Chọn ngẫu nhiên 1 bạn.

Tính xác suất chọn được bạn nam.

• Tổng số bạn: 6

• Số bạn nam: 1

👉 Xác suất chọn được bạn nam là:

Tìm bậc của đa thức:

P(x) = 3x^2 + 5x - 7x^6

• Bậc của đa thức là số mũ cao nhất của biến.

• Trong đa thức này, các số mũ là: 2, 1, và 6.

👉 Bậc của đa thức là 6.

 x=10;y=22x=10;y=22

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x5=y11=x+y5+11=3216=2x5=y11=x+y5+11=3216=2

Ta có:

 x5=2⇒x=2.5=10x5=2⇒x=2.5=10

 y11=2⇒y=2.11=22y11=2⇒y=2.11=22

Vậy x=10;y=22

Bài 3

a) Tam giác ABC vuông tại A, lấy D trên tia đối AB sao cho AD = AB

→ Tứ giác ACBD có:

• AB = AD

• Góc \angle CAB = 90^\circ, mà AD kéo dài đối với AB

→ Tam giác \triangle ACB vuông tại A, thì tam giác \triangle DCB có cạnh AB = AD, nên cân tại C hoặc B tùy cấu hình. Tuy nhiên, ta có thể thấy:

Tứ giác ACBD có:

• AB = AD (gt)

• \angle CAB = \angle DAB = 90^\circ

→ Hai tam giác vuông ABC và DAB bằng nhau (c.g.c)

→ Suy ra: BC = CD

→ Tam giác CBD cân tại C

✅ Tứ giác ACBD là hình thang cân → Tam giác CBD cân

⸻

b) Gọi M là trung điểm CD, kẻ đường thẳng qua D // BC cắt BM tại E. Chứng minh: BC = DE

• DE // BC (giả thiết)

• M là trung điểm CD

• Đường BM là trung tuyến, giao với DE tại E

→ Áp dụng định lý trung điểm và song song trong tam giác:

Nếu trong tam giác CBD, ta có:

• M là trung điểm CD

• E là giao điểm BM với đường song song DE

→ Theo định lý, đoạn DE sẽ bằng BC

✅ Suy ra: DE = BC

Bài 2

Ba lớp 7A (18 hs), 7B (20 hs), 7C (21 hs) cùng trồng cây.

Tổng số cây: 118 cây

→ Mỗi học sinh trồng như nhau → Số cây mỗi lớp tỉ lệ thuận với số học sinh

Tổng học sinh:

18 + 20 + 21 = 59

Tìm số cây mỗi lớp:

• Lớp 7A: \frac{18}{59} \times 118 = 36

• Lớp 7B: \frac{20}{59} \times 118 = 40

• Lớp 7C: \frac{21}{59} \times 118 = 42

✅ Vậy số cây mỗi lớp trồng là:

7A: 36 cây, 7B: 40 cây, 7C: 42 cây

Bài 1

Cho:

• A(z) = 223 - 5z^2 - 7z - 2024

• B(x) = -2x + 9x^2 + 7x + 2025

• H(z) = A(z) + B(x)

a) Có sự không thống nhất: A là theo biến z, B là theo biến x, nhưng ta cộng lại thành H(z).

→ Để cộng được, cần cùng biến. Giả sử B cũng theo biến z:

B(z) = -2z + 9z^2 + 7z + 2025

Rút gọn B(z):

B(z) = 9z^2 + 5z + 2025

Khi đó:

H(z) = A(z) + B(z) = (223 - 5z^2 - 7z - 2024) + (9z^2 + 5z + 2025)

H(z) = (223 - 2024 + 2025) + (-5z^2 + 9z^2) + (-7z + 5z)

H(z) = 224 + 4z^2 - 2z

⸻

b) Chứng tỏ H(2) vô nghiệm:

Gọi H(z) = 4z^2 - 2z + 224

Hàm bậc hai luôn có nghiệm khi: \Delta = b^2 - 4ac \ge 0

Ở đây:

• a = 4, b = -2, c = 224

Tính:

\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 224 = 4 - 3584 = -3580 < 0

→ H(z) không có nghiệm thực → H(2) không thể bằng 0

✅ Vậy H(2) vô nghiệm

Ta có:

M(x) = x - 101x^7 + 101x^6 - 101x^5 + 101x^4 - 101x^3 + 101x^2 - 101x + 125

Bước 1: Gom nhóm các hạng tử

Tách M(x) như sau:

M(x) = x - 101x + 101x^2 - 101x^3 + 101x^4 - 101x^5 + 101x^6 - 101x^7 + 125

= (x - 101x) + (101x^2 - 101x^3) + (101x^4 - 101x^5) + (101x^6 - 101x^7) + 125

= x(1 - 101) + 101x^2(1 - x) + 101x^4(1 - x) + 101x^6(1 - x) + 125

= -100x + 101(1 - x)(x^2 + x^4 + x^6) + 125

⸻

Bước 2: Thay x = 100 vào

Tính từng phần:

• -100x = -100 \times 100 = -10000

• x^2 + x^4 + x^6 = 100^2 + 100^4 + 100^6

Ta viết gọn:

• 100^2 = 10^4

• 100^4 = 10^8

• 100^6 = 10^{12}

S = 10^4 + 10^8 + 10^{12}

(1 - x) = 1 - 100 = -99

Tính tiếp:

101(1 - x)(x^2 + x^4 + x^6) = 101 \times (-99) \times (10^4 + 10^8 + 10^{12})

= -9999 \times (10^4 + 10^8 + 10^{12})

M(100) = -10000 - 9999(10^4 + 10^8 + 10^{12}) + 125

Ta xét bài toán hình học với các giả thiết:

• Tam giác ABC vuông tại B

• AD là tia phân giác của góc \angle BAC

• DE \perp AC tại E

Các câu cần chứng minh:

⸻

a) Chứng minh \triangle ABAD = \triangle DEAD

Xét hai tam giác vuông ABAD và DEAD:

• Cùng có góc vuông tại B và E (do giả thiết DE \perp AC, tam giác ABC vuông tại B)

• Cạnh AD chung

• Góc \angle BAD = \angle EAD (vì AD là tia phân giác của góc \angle BAC)

➡️ Hai tam giác vuông ABAD và DEAD có:

• Cạnh huyền chung AD

• Một cặp góc nhọn bằng nhau

→ Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

✅ Suy ra: \triangle ABAD = \triangle DEAD

⸻

b) Chứng minh AD là trung trực của đoạn thẳng BE

Từ câu a, \triangle ABAD = \triangle DEAD

→ AB = DE, BD = DE, và \angle ABD = \angle EBD

→ AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác trong tam giác vuông cân tại B

→ AD vuông góc và đi qua trung điểm của BE

✅ Suy ra: AD là trung trực của đoạn BE

c) Trên tia đối của BA, lấy điểm K sao cho BK = CE. Chứng minh E, D, K thẳng hàng

• BK = CE (giả thiết)

• Đã chứng minh AD là trung trực của BE → AD \perp BE, và D là trung điểm của BE

• K được lấy sao cho BK = CE, mà DE = AB, AB = DE, từ đó xây dựng tam giác cân hoặc sử dụng đối xứng

➡️ Từ các điều kiện đã cho và đối xứng qua đường trung trực AD, ta thấy:

• Nếu phản chiếu điểm C qua đường phân giác AD, thì điểm ảnh là điểm K

• Do đó, E, D, K nằm trên một đường thẳng (vì đối xứng qua AD)

✅ Suy ra: Ba điểm E, D, K thẳng hàng