1

Gọi unn là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1% .

Ta có:

u1 = 1 000 000 000 đồng.

u2 = u1 + u1.1% - a = u1(1 + 1%) – a (đồng)

u3 = u1(1 + 1%) – a + [u1(1 + 1%) – a].1% – a = u1(1 + 1%)2 – a(1 + 1%) – a

...

un = u1(1 + 1%)n-1 – a(1 + 1%)n-2 – a(1 + 1%)n-3 – a(1 + 1%)n-4 – ... – a.

Ta thấy dãy a(1 + 1%)n-1; a(1 + 1%)n-3; a(1 + 1%)n-4; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

Sn−2=a[1−(99%)n−2]1−99%=100a[1−(99%)n−2]Sn−2​=1−99%a[1−(99%)n−2]​=100a[1−(99%)n−2].

Suy ra un = u1(1 + 1%)n-1 – 100a[1 – (99%)n-2].

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u24 = 0. Do đó ta có:

u24 = u1(1 + 1%)23 – 100a[1 – (99%)22] = 0

⇔ 1 000 000 000.(99%) – 100a[1 – (99%)22] = 0

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.

Sau khi cắt miếng giấy hình vuông như hình vẽ, ta xếp lại được thành hình chóp tứ giác đều S.MNPQ (hình bên).

Ta có $OM=x\Rightarrow MP=MQ=20M=2x=MN\sqrt{2}\Rightarrow MN=\sqrt{2}x$ (cm).

Gọi H là trung điểm$PQ\Rightarrow OH=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{2}x}{2}$(cm) và $SH=10\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}x}{2}$ (cm).

Suy ra $SO=\sqrt{S{H}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\left(10\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)}^2}=\sqrt{20(10-x)}$.

Thể tích khối chóp S.MNPQ là:

$V_{MNPQ}=\frac{1}{3}.SO.S_{MNPQ}=\frac{1}{3}\sqrt{20(10-x)}.{\left(\sqrt{2}x\right)}^2=\frac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{(40-4x).x^4}$
$\to V_{MNPQ}=\frac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{(40-4x).x.x.x.x}\le \frac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{\left(\frac{40-4x+x+x+x+x}{5}\right)}=\frac{256\sqrt{10}}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\iff 40-4x=x\iff x=8$ (cm)