1. Tính số mol của $$^{238}U$$238U và $$^{206}Pb$$206Pb.

Khối lượng mol của $$^{238}U$$238U là 238 g/mol.
Số mol $$^{238}U$$238U là: $$n_{U} = \frac{46,97 \times 10^{-3}}{238} = 1,973 \times 10^{-4}$$nU​=23846,97×10−3​=1,973×10−4 mol.

Khối lượng mol của $$^{206}Pb$$206Pb là 206 g/mol.
Số mol $$^{206}Pb$$206Pb là: $$n_{Pb} = \frac{23,15 \times 10^{-3}}{206} = 1,124 \times 10^{-4}$$nPb​=20623,15×10−3​=1,124×10−4 mol.

1. Tính số nguyên tử ban đầu của $$^{238}U$$238U.

Ban đầu, số mol $$^{238}U$$238U là $$n_{0} = n_U + n_{Pb} = 1,973 \times 10^{-4} + 1,124 \times 10^{-4} = 3,097 \times 10^{-4}$$n0​=nU​+nPb​=1,973×10−4+1,124×10−4=3,097×10−4mol.
Số nguyên tử $$^{238}U$$238U ban đầu là $$N_{0} = n_{0} \times N_A = 3,097 \times 10^{-4} \times 6,022 \times 10^{23} = 1,864 \times 10^{20}$$N0​=n0​×NA​=3,097×10−4×6,022×1023=1,864×1020nguyên tử.

1. Tính số nguyên tử $$^{238}U$$238U còn lại.

Số nguyên tử $$^{238}U$$238U còn lại là $$N = n_U \times N_A = 1,973 \times 10^{-4} \times 6,022 \times 10^{23} = 1,187 \times 10^{20}$$N=nU​×NA​=1,973×10−4×6,022×1023=1,187×1020nguyên tử.

1. Sử dụng công thức phân rã phóng xạ để tính tuổi của khối đá.

Công thức phân rã phóng xạ: $$N = N_{0} e^{-\lambda t}$$N=N0​e−λt, trong đó:

• N là số nguyên tử còn lại.
• $$N_{0}$$N0​ là số nguyên tử ban đầu.
• $$\lambda$$λ là hằng số phân rã.
• t là thời gian.

Hằng số phân rã: $$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{4,47 \times 10^{9} \text{ năm}} = 1,55 \times 10^{-10} \text{ năm}^{-1}$$λ=T1/2​ln2​=4,47×109 na˘mln2​=1,55×10−10 na˘m−1.

Ta có: $$t = -\frac{1}{\lambda} \ln \frac{N}{N_{0}} = -\frac{1}{1,55 \times 10^{-10}} \ln \frac{1,187 \times 10^{20}}{1,864 \times 10^{20}} = 2,96 \times 10^{9} \text{ năm}$$t=−λ1​lnN0​N​=−1,55×10−101​ln1,864×10201,187×1020​=2,96×109 na˘m.

1. Chuyển đổi đơn vị thành tỉ năm.

Tuổi của khối đá là $$2,96 \times 10^{9} \text{ năm} = 2,96 \text{ tỉ năm}$$2,96×109 na˘m=2,96 tỉ na˘m.

Bước 1: Sử dụng công thức suy giảm phóng xạ

Phóng xạ của một chất phóng xạ giảm theo công thức:

\(A \left(\right. t \left.\right) = A_{0} e^{- \lambda t}\)

Trong đó:

• \(A \left(\right. t \left.\right)\) là độ phóng xạ tại thời điểm \(t\).
• \(A_{0}\) là độ phóng xạ ban đầu.
• \(\lambda\) là hằng số phân rã (liên quan đến chu kỳ bán rã \(T_{1 / 2}\)).
• \(t\) là thời gian đã trôi qua.

Bước 2: Tính hằng số phân rã \(\lambda\)

Chu kỳ bán rã \(T_{1 / 2} = 15 \textrm{ } \text{gi}ờ\), vậy hằng số phân rã \(\lambda\) có thể tính như sau:

\(\lambda = \frac{ln ⁡ \left(\right. 2 \left.\right)}{T_{1 / 2}} = \frac{ln ⁡ \left(\right. 2 \left.\right)}{15} \approx \frac{0 , 693}{15} = 0 , 0462 \textrm{ } \text{gi}ờ^{- 1}\)

Bước 3: Tính độ phóng xạ sau 7,5 giờ

Sau 7,5 giờ, độ phóng xạ của dung dịch sẽ suy giảm theo công thức trên. Độ phóng xạ ban đầu \(A_{0} = 2 \textrm{ } \mu \text{Ci}\) (2 μCi = 2000 phân rã/phút).

Độ phóng xạ sau 7,5 giờ:

\(A \left(\right. 7 , 5 \left.\right) = 2000 \times e^{- \lambda \times 7 , 5} = 2000 \times e^{- 0 , 0462 \times 7 , 5} = 2000 \times e^{- 0 , 3465}\)

Tính giá trị:

\(e^{- 0 , 3465} \approx 0 , 707\)

Vậy độ phóng xạ sau 7,5 giờ là:

\(A \left(\right. 7 , 5 \left.\right) = 2000 \times 0 , 707 \approx 1414 \textrm{ } \text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{r} \overset{\sim}{\text{a}} /\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t}\)

Bước 4: Xác định thể tích máu

Ở bước này, ta biết rằng sau 7,5 giờ, 1 cm³ máu có độ phóng xạ là 502 phân rã/phút. Để tính thể tích máu \(V_{\text{m} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{u}}\), ta sẽ sử dụng tỷ lệ giữa độ phóng xạ trong mẫu máu và độ phóng xạ ban đầu của toàn bộ lượng máu.

Gọi thể tích máu là \(V_{\text{m} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{u}}\). Sử dụng tỷ lệ:

\(\frac{502}{A \left(\right. 7 , 5 \left.\right)} = \frac{1}{V_{\text{m} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{u}}}\)

Vì \(A \left(\right. 7 , 5 \left.\right) = 1414 \textrm{ } \text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{r} \overset{\sim}{\text{a}} /\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t}\), ta có:

\(\frac{502}{1414} = \frac{1}{V_{\text{m} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{u}}}\)

Tính:

\(V_{\text{m} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{u}} = \frac{1414}{502} \approx 2 , 82 \textrm{ } \text{l} \overset{ˊ}{\imath} \text{t}\)

Kết quả:

Thể tích máu của bệnh nhân là 2,82 lít.

a) Tính bán kính của hạt nhân nguyên tử \(_{88}^{226} \text{Ra}\)

Để tính bán kính của hạt nhân, ta sử dụng công thức:

\(r = r_{0} \times A^{1 / 3}\)

Trong đó:

• \(r_{0} = 1 , 4 \times 10^{- 15} \textrm{ } \text{m}\) là hằng số bán kính.
• \(A\) là số khối của hạt nhân (ở đây \(A = 226\)).

Bước 1: Tính bán kính

\(r = 1 , 4 \times 10^{- 15} \times 226^{1 / 3}\)

Tính giá trị \(A^{1 / 3}\):

\(226^{1 / 3} \approx 6.12\)

Do đó, bán kính hạt nhân là:

\(r = 1 , 4 \times 10^{- 15} \times 6.12 \approx 8 , 57 \times 10^{- 15} \textrm{ } \text{m}\)

Kết quả a:
Bán kính hạt nhân của \(_{88}^{226} \text{Ra}\) là \(8 , 57 \times 10^{- 15} \textrm{ } \text{m}\).

b) Tính năng lượng liên kết của hạt nhân và năng lượng liên kết riêng

Để tính năng lượng liên kết, ta cần tính độ hụt khối của hạt nhân \(_{88}^{226} \text{Ra}\) và sau đó sử dụng công thức:

\(E_{b} = \Delta m \times c^{2}\)

Trong đó:

• \(\Delta m\) là độ hụt khối của hạt nhân.
• \(c^{2} = 931 , 5 \textrm{ } \text{MeV} / \text{u}\) là hệ số chuyển đổi từ khối lượng (u) sang năng lượng (MeV).

Bước 1: Tính độ hụt khối (\(\Delta m\))

Khối lượng của hạt nhân \(_{88}^{226} \text{Ra}\) là 226,0254 amu.

Số proton trong hạt nhân \(_{88}^{226} \text{Ra}\) là 88 và số neutron là \(A - Z = 226 - 88 = 138\).

• Khối lượng của proton: \(m_{p} = 1 , 007276 \textrm{ } \text{amu}\).
• Khối lượng của neutron: \(m_{n} = 1 , 008665 \textrm{ } \text{amu}\).

Tổng khối lượng của các nucleon (proton và neutron) là:

\(\text{T}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{l}ượ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nucleon} = 88 \times 1 , 007276 + 138 \times 1 , 008665 = 88 \times 1 , 007276 + 138 \times 1 , 008665 = 88 , 639 \textrm{ } \text{u} + 139 , 198 \textrm{ } \text{u} = 227 , 837 \textrm{ } \text{u}\)

Độ hụt khối \(\Delta m\) là:

\(\Delta m = \text{T}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{l}ượ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nucleon} - \text{Kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{l}ượ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h}ạ\text{t}\&\text{nbsp};\text{nh} \hat{\text{a}} \text{n} = 227 , 837 - 226 , 0254 = 1 , 8116 \textrm{ } \text{u}\)

Bước 2: Tính năng lượng liên kết (\(E_{b}\))

Năng lượng liên kết \(E_{b}\) là:

\(E_{b} = \Delta m \times c^{2} = 1 , 8116 \times 931 , 5 = 1 , 687 , 53 \textrm{ } \text{MeV}\)

Kết quả b:
Năng lượng liên kết của hạt nhân \(_{88}^{226} \text{Ra}\) là 1,687 MeV (làm tròn đến hàng đơn vị).

Bước 3: Tính năng lượng liên kết riêng

Năng lượng liên kết riêng được tính bằng công thức:

\(E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{ri} \hat{\text{e}} \text{ng}} = \frac{E_{b}}{A}\)

Trong đó:

• \(E_{b} = 1 , 687 \textrm{ } \text{MeV}\) là năng lượng liên kết.
• \(A = 226\) là số khối của hạt nhân.

Tính năng lượng liên kết riêng:

\(E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{ri} \hat{\text{e}} \text{ng}} = \frac{1 , 687}{226} \approx 7 , 46 \textrm{ } \text{MeV}/\text{nucleon}\)

Kết quả b:
Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân \(_{88}^{226} \text{Ra}\) là 7,46 MeV/nucleon