????????????????????????

Ta có:
Điều kiện đề bài:

\(x^{3} + y^{3} + z^{3} = 0\)

Cần chứng minh:

\(x^{3} y^{3} + 2 y^{3} z^{3} + 3 z^{3} x^{3} \leq 0\)

Bước 1: Đặt ẩn mới
Đặt

\(X = x^{3} , Y = y^{3} , Z = z^{3}\)

Khi đó điều kiện trở thành:

\(X + Y + Z = 0\)

Và bất đẳng thức cần chứng minh là:

\(X Y + 2 Y Z + 3 Z X \leq 0\)

Bước 2: Thay \(Z = - X - Y\)
Ta có:

\(X Y + 2 Y \left(\right. - X - Y \left.\right) + 3 \left(\right. - X - Y \left.\right) X \leq 0\) \(X Y - 2 X Y - 2 Y^{2} - 3 X^{2} - 3 X Y \leq 0\)

Gom nhóm hệ số của \(X Y\):

\(\left(\right. 1 - 2 - 3 \left.\right) X Y - 2 Y^{2} - 3 X^{2} \leq 0\) \(- 4 X Y - 2 Y^{2} - 3 X^{2} \leq 0\)

Bước 3: Chuyển vế và biến đổi
Bất đẳng thức trên tương đương:

\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} \geq 0\)

Bước 4: Phân tích thành bình phương
Ta có:

\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} = \left(\right. X + Y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. X + Y \left.\right)^{2} + X^{2} (\text{c} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{ki}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{tra}\&\text{nbsp};\text{l}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch})\)

Thực tế, ta viết lại:

\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} = \left(\right. X - Y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. X + Y \left.\right)^{2}\)

Kiểm tra:

• \(\left(\right. X - Y \left.\right)^{2} = X^{2} - 2 X Y + Y^{2}\)
• \(2 \left(\right. X + Y \left.\right)^{2} = 2 \left(\right. X^{2} + 2 X Y + Y^{2} \left.\right) = 2 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2}\)
  Cộng lại: \(X^{2} - 2 X Y + Y^{2} + 2 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} = 3 X^{2} + 2 X Y + 3 Y^{2}\) → chưa khớp, vậy cần cách tách khác.

Bước 5: Cách khác – dùng định thức
Vì đây là biểu thức bậc hai đối với \(X , Y\), ta có:

\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2}\)

Là dạng toàn phương khi:

\(\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = - 8 < 0\)

Hệ số \(a = 3 > 0\) nên biểu thức này luôn dương với mọi \(X , Y\) khác 0.

Bước 6: Kết luận
Do \(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} \geq 0\) luôn đúng, nên:

\(X Y + 2 Y Z + 3 Z X \leq 0\)

luôn đúng.

Dọc theo chiều dài, ta trồng được:

\(5.5 : \frac{1}{4} = 22\) (khóm hoa)

Dọc theo chiều rộng, ta trồng được:

\(3 , 75 : \frac{1}{4} = 15\) (khóm hoa)

Như vậy, số khóm hoa trồng được dọc theo hai cạnh của mảnh vườn là:

\(\left[\right. \left(\right. 22 + 15 \left.\right) . 2 \left]\right. - 4 = 70\) (khóm hoa)

Đáp số: 4 khóm hoa

a) \(\&\text{nbsp}; \frac{1}{5} + \frac{4}{5} : x = 0 , 75\)

\(\&\text{nbsp}; \frac{1}{5} + \frac{4}{5} : x = \frac{3}{4}\)

\(\frac{4}{5} : x = \frac{3}{4} - \frac{1}{5}\)

\(\frac{4}{5} : x = \frac{11}{20}\)

\(x = \frac{16}{11}\);

b) \(x + \frac{1}{2} = 1 - x\)

 \(2 x = 1 - \frac{1}{2}\)

 \(2 x = \frac{1}{2}\)

 \(x = \frac{1}{4}\).

a) \(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \left(\right. \frac{5}{4} - \frac{3}{4} \left.\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\);
b) \(2 \cdot \left(\left(\right. \frac{- 3}{2} \left.\right)\right)^{2} - \frac{7}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = 1\);
c) \(- \frac{3}{4} \cdot 5 \frac{3}{13} - 0 , 75 \cdot \frac{36}{13} = - \frac{3}{4} \cdot 5 \frac{3}{13} - \frac{3}{4} \cdot \frac{36}{13}\)
\(= - \frac{3}{4} \left(\right. 5 \frac{3}{13} + \frac{36}{13} \left.\right)\)
\(= - \frac{3}{4} \cdot 8 = - 6\).

a) \(A = \left[\right. \frac{2}{7} \left(\right. \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \left.\right) \left]\right. : \left[\right. \frac{2}{7} \left(\right. \frac{1}{3} - \frac{2}{5} \left.\right) \left]\right. = \left(\right. \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \left.\right) : \left(\right. \frac{1}{3} - \frac{2}{5} \left.\right) = 1 \frac{1}{4}\).
b) \(B = \frac{\frac{3}{4} \left(\right. \frac{1}{5} - \frac{2}{7} - \frac{1}{3} + \frac{2}{7} \left.\right)}{\frac{1}{5} \left(\right. \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \left.\right) - \frac{1}{3} \left(\right. \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \left.\right)} = \frac{\frac{3}{4} \left(\right. \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \left.\right)}{\left(\right. \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \left.\right) \left(\right. \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \left.\right)} = 1 \frac{11}{52}\).

a) \(A = \frac{3}{5} . \&\text{nbsp}; \frac{6}{7} + \frac{3}{7} . \&\text{nbsp}; \frac{3}{5} - \frac{2}{7} . \&\text{nbsp}; \frac{3}{5}\)
\(= \frac{3}{5} \cdot \left(\right. \frac{6}{7} + \frac{3}{7} - \frac{2}{7} \left.\right) = \frac{3}{5}\)
b) \(\&\text{nbsp}; B = \left(\right. - 13 \cdot \frac{2}{5} + \frac{- 2}{9} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{11}{9} \left.\right) \cdot \frac{5}{2}\)
\(= \left(\right. - 13 - \frac{2}{9} + \frac{11}{9} \left.\right) \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = - 13 + \left(\right. \frac{11}{9} - \frac{2}{9} \left.\right) = - 12.\)
c) \(C = \left(\right. \frac{- 4}{5} + \frac{5}{7} \left.\right) \cdot \frac{3}{2} + \left(\right. \frac{- 1}{5} + \frac{2}{7} \left.\right) \cdot \frac{3}{2} = \left(\right. \frac{- 4}{5} + \frac{5}{7} + \frac{- 1}{5} + \frac{2}{7} \left.\right) \cdot \frac{3}{2} = \left(\right. \left(\right. \frac{- 4}{5} + \frac{- 1}{5} \left.\right) + \left(\right. \frac{5}{7} + \frac{2}{7} \left.\right) \left.\right) \cdot \frac{3}{2} = 0.\)
d) \(D = \frac{4}{9} : \left(\right. \frac{1}{15} - \frac{10}{15} \left.\right) + \frac{4}{9} : \left(\right. \frac{2}{22} - \frac{5}{22} \left.\right)\)
\(= \frac{4}{9} : \frac{- 3}{5} + \frac{4}{9} : \frac{- 3}{22} = \frac{4}{9} \cdot \frac{- 5}{3} + \frac{4}{9} . \&\text{nbsp}; \frac{- 22}{3}\)
\(= \frac{4}{9} \cdot \left(\right. \frac{- 5}{3} + \frac{- 22}{3} \left.\right) = \frac{4}{9} . \&\text{nbsp}; \frac{- 27}{3} = - 4.\)

a) \(P = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{5} - \frac{7}{45} + \frac{5}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{35}\) \(= \left(\right. \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \left.\right) + \left(\right. \frac{5}{9} - \frac{7}{45} \left.\right) + \frac{3}{5} + \frac{1}{35} = 1 + \frac{4}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{35} = 2 \frac{1}{35}\).

(Chú ý: ta gói các số hạng có mẫu dễ quy đồng hơn với nhau.)
b) \(Q = \left(\right. 5 - 6 - 2 \left.\right) + \left(\right. - \frac{3}{4} - \frac{7}{4} + \frac{5}{4} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{5} + \frac{8}{5} - \frac{16}{5} \left.\right) = - \left(\right. 3 + \frac{5}{4} + \frac{7}{5} \left.\right)\) \(= - \&\text{nbsp}; \frac{113}{20}\).

​​Áp dụng quy tắc dấu ngoặc để phá ngoặc, rồi áp dụng các tính chất giao hoán và kểt hơp, ta có
a) \(A = \left(\right. \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \left.\right) - \left(\right. \frac{8}{15} + \frac{7}{15} \left.\right) + \left(\right. \frac{- 1}{7} + 1 \frac{1}{7} \left.\right) = 1 - 1 + 1 = 1\);
b) \(B = \left(\right. 0.25 - 1 \frac{1}{4} \left.\right) + \left(\right. \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \left.\right) - \frac{1}{8}\)
\(= \left(\right. \frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{4} \left.\right) + 1 - \frac{1}{8} = \frac{- 1}{8}\).