a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC

Do AD // BC nên góc ADB = góc CBD (SLT)

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có:

góc AHD = góc CKB = 90 độ

AD = BC (cmt)

góc ADH = góc CKB (do góc ADB = góc CBD)

=> tam giác ADH = tam giác CBK (ch_gn)

=> AH = CK (2 cạnh tương ứng)

Ta có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH // CK

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a) nên 2 đường chéo AC và HK cắt nhau tại TĐ của mỗi đường

Mà I là TĐ của HK (gt) nên I là TĐ của AC

Do ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại TĐ của mỗi đường

Mà I là TĐ của AC nên I là TĐ của BD, hay IB = ID

a) Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD = BC

Mà E là trung điểm của AD; F là trung điểm của BC

Suy ra: AE = DE = BF = CF

Xét tứ giác EBFD có: BF // ED (BC // AD)

                                   BF = ED (cmt)

Suy ra: tứ giác EBFD là hình bình hành

b) Từ O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD hay giao điểm của AC và BD.

Suy ra: O là trung điểm của BD hay 3 điểm B; O; D thẳng hàng

Ta có: tứ giác EBFD là hình bình hành (cmt)

Suy ra: BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD

Suy ra: O cũng là trung điểm của EF

Suy ra: 3 điểm F; O; E thẳng hàng

- Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra GM = GB/2; GN = GC/2 (tc trọng tâm của tam giác)   (1)

Mà P là trung điểm của GB (gt) nên GP = PB = GB/2                                   (2)

Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ = GC = GC/2                                    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra GM = GP và GN = GQ

- Xét tứ giác PQMN có: GM =GP và GN = GQ (cmt)

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

=> AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy 3 trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, suy ra AE // CF, AE = EB = DF = FC.

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có 2 cạnh đối AE // CF và AE = CF.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.