a) A = \(\sqrt{36} . \left(\right. 3 \sqrt{4} - \sqrt{\frac{1}{9}} \left.\right) + 2\)

= \(6. \left(\right. 3.2 - \frac{1}{3} \left.\right) + 2\)

= \(36 - 2 + 2 = 36.\)

b) B = \(\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{16}}\)

= \(\sqrt{\frac{9 + 16}{9.16}}\)

= \(\sqrt{\frac{5^{2}}{3^{2} . 4^{2}}}\)

= \(\frac{5}{12}\).

c) C = \(\left(\right. \sqrt{\frac{1}{9}} \&\text{nbsp}; + \sqrt{\frac{25}{36}} \&\text{nbsp}; - \sqrt{\frac{49}{81}} \left.\right) : \sqrt{\frac{441}{324}}\)

= \(\left(\right. \frac{1}{3} + \frac{5}{6} - \frac{7}{9} \left.\right) : \sqrt{\frac{2 1^{2}}{1 8^{2}}}\)

= \(\frac{7}{18} : \frac{7}{6}\)

= \(\frac{1}{3}\).

d) \(\sqrt{\left(\left(\right. \frac{- 2}{5} \left.\right)\right)^{2}} + \sqrt{1 , 44} - \sqrt{256}\)

= \(\frac{2}{5} + 1 , 2 - 16\)

= \(- \frac{72}{5}\).

Gọi số có hai chữ số cần tìm là abab (0<a≤9; 0≤b≤9).

 Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới là a0b

Theo bài ra, ta có: a0b = 6ab ó100.a + b = 6.(10.a+b) ó 100a + b = 60a + 6b ó 40a = 5b ó 8a = b.

Vì a, b  là các chữ số và a≠0 nên suy ra a = 1; b = 8.

Vậy số cần tìm là 18

25/8

PHẦN I: Find the word which has a different sound in the part underlined

1. C. enough
2. A. cough
3. D. daughter
4. A. daughter
5. B. attention
6. C. goes
7. C. sit
8. B. attention
9. B. kind
10. A. game
11. A. compound
12. A. allergy
13. A. really
14. B. put
15. A. chemical
16. A. regularly
17. A. compound
18. A. essential
19. A. allergy
20. D. knife

PHẦN II: Circle A, B, C or D to complete the sentences

1. B. does she
2. D. beautifully
3. B. watered
4. B. Why don’t
5. D. However
6. A. Although
7. C. to go
8. B. isn’t it
9. D. will be finished
10. C. watching

PHẦN III: Read the passage then answer the questions

1. Yes, he does.
2. He watches TV for only an hour after dinner every day.
3. He likes news and documentaries best.
4. The news programs are shown at 7:00 p.m. in the evening.
5. No, he doesn’t. He finds documentaries interesting.
6. The news programs can help him know about international sporting events.
7. The documentaries can make him know about great people in the world.

PHẦN IV: Complete the sentences using the suggested words

1. Although Nam and I have quite different characters, we are close friends.
2. If she doesn’t invite me to the birthday party, I won’t go.
3. It was brave of him to jump into the river to save the child.
4. That was very kind of you to help me with this math problem.
5. My sister advised me to read that book.
6. After hearing the conditions, I decided not to participate in the competition.

1. Android – do Google phát triển, rất phổ biến trên các điện thoại Samsung, Xiaomi, OPPO, Vivo,...
2. iOS – do Apple phát triển, chỉ có trên iPhone.
3. HarmonyOS – do Huawei phát triển, dùng trên một số thiết bị Huawei.

• Windows – do Microsoft phát triển, phổ biến nhất thế giới (Windows 10, Windows 11,...).
• macOS – do Apple phát triển, chỉ chạy trên máy tính Mac (MacBook, iMac,...).
• Linux – mã nguồn mở, có nhiều phiên bản như Ubuntu, Fedora, Linux Mint,...
• ChromeOS – do Google phát triển, chủ yếu dùng trên Chromebook.

Giả sử: Bình là người giấu chìa khóa

Xét lời nói từng người:

• An:
• • "Không phải Đạt giấu" → Đúng
  • "Là Bình giấu" → Đúng
    ⇒ Cả hai đúng → Loại

Giả sử: Chi là người giấu

• An:
• • "Không phải Đạt giấu" → Không phải Đạt → đúng
  • "Là Bình giấu" → Sai
    → Hợp lệ (1 đúng, 1 sai)
• Bình:
• • "Không phải Chi giấu" → Sai
  • "Cũng không phải Đạt giấu" → đúng
    → Hợp lệ
• Chi:
• • "Đạt giấu" → Sai
  • "Không phải An giấu" → Đúng
    → Hợp lệ
• Dũng:
• • "Chi giấu" → Đúng
  • "Bình giấu" → Sai
    → Hợp lệ
• Đạt:
• • "Dũng giấu" → Sai
  • "Không phải An giấu" → Đúng
    → Hợp lệ

Tất cả đều nói 1 thật, 1 sai → Thoả mãn

Kết luận: Chi là người đang giấu chìa khóa.

những người Anh sang sống ở việt thì học tiếng việt

giữ tinh thần thật thoải mái và sẵn sàng.

1. Phương trình a)

\(x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 25 = 0.\)

Bước 1: Giả sử phân tích

Giả sử

\(x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 25 = \left(\right. x^{2} + p x + q \left.\right) \left(\right. x^{2} + r x + s \left.\right) .\)

Khi đó, bằng cách nhân và so sánh hệ số với đa thức gốc:

• Hệ số \(x^{3}\): \(p + r = 1.\)
• Hệ số \(x^{2}\): \(p r + q + s = 4.\)
• Hệ số \(x^{1}\): \(p s + q r = 5.\)
• Hằng số: \(q s = 25.\)

Bước 2: Tìm \(p , q , r , s\)

Từ \(q s = 25\). Các khả năng (với hệ số thực) là cặp \(\left(\right. q , s \left.\right)\) sao cho tích 25. Thông thường ta thử nghiệm cặp kiểu số nguyên hoặc đơn giản:

• Ta thử \(q = 5 , \textrm{ } s = 5\). Khi đó:
  Giờ giải hệ
  \(\left{\right. p + r = 1 , \\ p r = - 6.\)
  Giải: \(p , r\) là nghiệm của phương trình \(t^{2} - \left(\right. p + r \left.\right) t + p r = 0 \Longrightarrow t^{2} - 1 \cdot t - 6 = 0 \Longrightarrow t^{2} - t - 6 = 0.\)
  Giải: \(t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} .\)
  ⇒ \(t = 3\) hoặc \(t = - 2.\)
  Vì \(p + r = 1\), nên một trong hai là 3, một là -2. Ví dụ:
• • \(p r + 5 + 5 = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r = 4 - 10 = - 6.\)
  • \(p + r = 1.\)
  • Và \(p s + q r = 5 p + 5 r = 5 \left(\right. p + r \left.\right) = 5 \cdot 1 = 5.\) (thỏa điều kiện hệ số \(x^{1}\) = 5) ⇒ phù hợp.
• • \(p = 3 , r = - 2 ,\) hoặc ngược lại \(p = - 2 , r = 3.\) Cả hai cho ra tích \(p r = - 6\) và tổng 1.

Ta có thể lấy \(p = 3 , r = - 2\). Khi đó

\(x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 25 = \left(\right. x^{2} + 3 x + 5 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + 5 \left.\right) .\)

Bước 3: Giải phương trình

\(\left(\right. x^{2} + 3 x + 5 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + 5 \left.\right) = 0\)

Cho hai phương trình bậc hai:

1. \(x^{2} + 3 x + 5 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = - 11 < 0.\)
   ⇒ Nghiệm phức:
   \(x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2} = - \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} \textrm{ } i .\)
2. \(x^{2} - 2 x + 5 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0.\)
   ⇒ Nghiệm phức:
   \(x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2} = 1 \pm 2 i .\)

Kết luận a)

Phương trình không có nghiệm thực, có 4 nghiệm phức:

\(x = - \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i , x = 1 \pm 2 i .\)

2. Phương trình b)

\(x^{4} + 3 x^{3} - 14 x^{2} - 6 x + 4 = 0.\)

Bước 1: Giả sử phân tích

\(x^{4} + 3 x^{3} - 14 x^{2} - 6 x + 4 = \left(\right. x^{2} + p x + q \left.\right) \left(\right. x^{2} + r x + s \left.\right) .\)

So sánh:

• \(p + r = 3.\)
• \(p r + q + s = - 14.\)
• \(p s + q r = - 6.\)
• \(q s = 4.\)

Bước 2: Tìm \(q , s\) sao cho \(q s = 4\).

Thử các cặp đơn giản: \(\left(\right. 1 , 4 \left.\right) , \left(\right. 2 , 2 \left.\right) , \left(\right. 4 , 1 \left.\right) , \left(\right. - 1 , - 4 \left.\right) , \left(\right. - 2 , - 2 \left.\right) , \left(\right. - 4 , - 1 \left.\right)\). Kiểm tra xem có thỏa hệ hay không.

• Thử \(q = - 2 , s = - 2\) (tích 4).
  Khi đó:
• • \(p r + \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. - 2 \left.\right) = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r - 4 = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r = - 10.\)
  • \(p + r = 3.\)
  • Kiểm tra điều kiện \(p s + q r = p \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. - 2 \left.\right) r = - 2 p - 2 r = - 2 \left(\right. p + r \left.\right) = - 2 \cdot 3 = - 6.\) Đúng khớp với hệ số \(- 6\).
    Thỏa!
    Giải hệ \(p + r = 3 , p r = - 10.\)
    ⇒ \(t^{2} - 3 t - 10 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} .\)
    ⇒ \(t = 5\) hoặc \(t = - 2.\) Vì tổng 3 nên một là 5, một là -2. Ví dụ \(p = 5 , r = - 2\) hoặc ngược lại.

Chọn \(p = 5 , r = - 2\). Khi đó

\(x^{4} + 3 x^{3} - 14 x^{2} - 6 x + 4 = \left(\right. x^{2} + 5 x - 2 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x - 2 \left.\right) .\)

Bước 3: Giải hai phương trình bậc hai

1. \(x^{2} + 5 x - 2 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) = 25 + 8 = 33.\)
   \(x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2} .\)
2. \(x^{2} - 2 x - 2 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) = 4 + 8 = 12.\)
   \(x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} .\)

Kết luận b)

Phương trình có 4 nghiệm thực:

\(x = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{2} , x = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{2} , x = 1 + \sqrt{3} , x = 1 - \sqrt{3} .\)

3. Phương trình c)

\(x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2} - 20 x + 16 = 0.\)

Bước 1: Giả sử phân tích

\(x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2} - 20 x + 16 = \left(\right. x^{2} + p x + q \left.\right) \left(\right. x^{2} + r x + s \left.\right) .\)

So sánh:

• \(p + r = 5.\)
• \(p r + q + s = - 14.\)
• \(p s + q r = - 20.\)
• \(q s = 16.\)

Bước 2: Tìm \(q , s\) sao cho \(q s = 16\).

Thử cặp đơn giản: có thể \(q = - 4 , s = - 4\) cho tích 16. Kiểm tra:

• Nếu \(q = - 4 , s = - 4\):
• • \(p r + \left(\right. - 4 \left.\right) + \left(\right. - 4 \left.\right) = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r - 8 = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r = - 6.\)
  • \(p + r = 5.\)
  • Kiểm tra \(p s + q r = p \left(\right. - 4 \left.\right) + \left(\right. - 4 \left.\right) r = - 4 p - 4 r = - 4 \left(\right. p + r \left.\right) = - 4 \cdot 5 = - 20.\) Đúng khớp.
    ⇒ Hệ \(p + r = 5 , p r = - 6\).
    ⇒ \(t^{2} - 5 t - 6 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} .\)
    ⇒ \(t = 6\) hoặc \(t = - 1\). Tổng 5 ⇒ một là 6, một là -1. Ví dụ \(p = 6 , r = - 1\) hoặc ngược lại.

Chọn \(p = 6 , r = - 1\). Khi đó

\(x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2} - 20 x + 16 = \left(\right. x^{2} + 6 x - 4 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x - 4 \left.\right) .\)

Bước 3: Giải hai phương trình bậc hai

1. \(x^{2} + 6 x - 4 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 36 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 4 \left.\right) = 36 + 16 = 52 = 4 \cdot 13.\)
   \(x = \frac{- 6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{13}}{2} = - 3 \pm \sqrt{13} .\)
2. \(x^{2} - x - 4 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 1 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 4 \left.\right) = 1 + 16 = 17.\)
   \(x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} .\)

Kết luận c)

Phương trình có 4 nghiệm thực:

\(x = - 3 + \sqrt{13} , x = - 3 - \sqrt{13} , x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} , x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} .\)

4. Phương trình d)

\(3 x^{4} + 2 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12 = 0.\)

Bước 1: Thử tách nhân tử

Ở đây hệ số cao nhất là 3. Thông thường ta cũng kiểm tra xem có nghiệm hữu tỉ dạng \(\pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \pm 4 , \pm 6 , \pm 12 , \ldots\) theo định lý nghiệm hữu tỉ (ước của 12 trên ước của 3). Thử lần lượt:

• Thử \(x = 1\): \(3 + 2 - 13 - 4 + 12 = 0.\) ⇒ \(1\) là nghiệm thực.
• Thử \(x = - 2\): \(3 \cdot 16 + 2 \cdot \left(\right. - 8 \left.\right) - 13 \cdot 4 - 4 \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) + 12 = 48 - 16 - 52 + 8 + 12 = 0.\) ⇒ \(x = - 2\) cũng là nghiệm thực.

Vậy đa thức có nhân tử \(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right)\). Chia đa thức cho \(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right)\) hoặc lặp lại phép chia đa thức:

Bước 2: Chia đa thức

Chia \(3 x^{4} + 2 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12\) cho \(\left(\right. x - 1 \left.\right)\) trước:

• Dùng phép chia đa thức hoặc tổng quát biết rằng sau khi tách \(x = 1\) và \(x = - 2\), ta có thể viết
  \(3 x^{4} + 2 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12 = \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. đ\text{a}\&\text{nbsp};\text{th}ứ\text{c}\&\text{nbsp};\text{b}ậ\text{c}\&\text{nbsp};\text{2} \left.\right) .\)

Thực hiện nhanh phép chia (hoặc dùng Euclid) sẽ cho đa thức bậc 2 là \(3 x^{2} - x - 6\). Bạn có thể kiểm tra:

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. 3 x^{2} - x - 6 \left.\right) = \left(\right. x^{2} + x - 2 \left.\right) \left(\right. 3 x^{2} - x - 6 \left.\right) .\)

Nhân ra sẽ thu lại đa thức gốc (có thể tự kiểm tra).

Bước 3: Giải đa thức bậc hai còn lại

Giải \(3 x^{2} - x - 6 = 0\).
Discriminant \(\Delta = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \left(\right. - 6 \left.\right) = 1 + 72 = 73.\)

\(x = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6} .\)

Kết luận d)

Phương trình có 4 nghiệm thực:

\(x = 1 , x = - 2 , x = \frac{1 + \sqrt{73}}{6} , x = \frac{1 - \sqrt{73}}{6} .\)

1. Phương trình a)

\(x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 25 = 0.\)

Bước 1: Giả sử phân tích

Giả sử

\(x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 25 = \left(\right. x^{2} + p x + q \left.\right) \left(\right. x^{2} + r x + s \left.\right) .\)

Khi đó, bằng cách nhân và so sánh hệ số với đa thức gốc:

• Hệ số \(x^{3}\): \(p + r = 1.\)
• Hệ số \(x^{2}\): \(p r + q + s = 4.\)
• Hệ số \(x^{1}\): \(p s + q r = 5.\)
• Hằng số: \(q s = 25.\)

Bước 2: Tìm \(p , q , r , s\)

Từ \(q s = 25\). Các khả năng (với hệ số thực) là cặp \(\left(\right. q , s \left.\right)\) sao cho tích 25. Thông thường ta thử nghiệm cặp kiểu số nguyên hoặc đơn giản:

• Ta thử \(q = 5 , \textrm{ } s = 5\). Khi đó:
  Giờ giải hệ
  \(\left{\right. p + r = 1 , \\ p r = - 6.\)
  Giải: \(p , r\) là nghiệm của phương trình \(t^{2} - \left(\right. p + r \left.\right) t + p r = 0 \Longrightarrow t^{2} - 1 \cdot t - 6 = 0 \Longrightarrow t^{2} - t - 6 = 0.\)
  Giải: \(t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} .\)
  ⇒ \(t = 3\) hoặc \(t = - 2.\)
  Vì \(p + r = 1\), nên một trong hai là 3, một là -2. Ví dụ:
• • \(p r + 5 + 5 = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r = 4 - 10 = - 6.\)
  • \(p + r = 1.\)
  • Và \(p s + q r = 5 p + 5 r = 5 \left(\right. p + r \left.\right) = 5 \cdot 1 = 5.\) (thỏa điều kiện hệ số \(x^{1}\) = 5) ⇒ phù hợp.
• • \(p = 3 , r = - 2 ,\) hoặc ngược lại \(p = - 2 , r = 3.\) Cả hai cho ra tích \(p r = - 6\) và tổng 1.

Ta có thể lấy \(p = 3 , r = - 2\). Khi đó

\(x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 25 = \left(\right. x^{2} + 3 x + 5 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + 5 \left.\right) .\)

Bước 3: Giải phương trình

\(\left(\right. x^{2} + 3 x + 5 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + 5 \left.\right) = 0\)

Cho hai phương trình bậc hai:

1. \(x^{2} + 3 x + 5 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = - 11 < 0.\)
   ⇒ Nghiệm phức:
   \(x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2} = - \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} \textrm{ } i .\)
2. \(x^{2} - 2 x + 5 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0.\)
   ⇒ Nghiệm phức:
   \(x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2} = 1 \pm 2 i .\)

Kết luận a)

Phương trình không có nghiệm thực, có 4 nghiệm phức:

\(x = - \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i , x = 1 \pm 2 i .\)

2. Phương trình b)

\(x^{4} + 3 x^{3} - 14 x^{2} - 6 x + 4 = 0.\)

Bước 1: Giả sử phân tích

\(x^{4} + 3 x^{3} - 14 x^{2} - 6 x + 4 = \left(\right. x^{2} + p x + q \left.\right) \left(\right. x^{2} + r x + s \left.\right) .\)

So sánh:

• \(p + r = 3.\)
• \(p r + q + s = - 14.\)
• \(p s + q r = - 6.\)
• \(q s = 4.\)

Bước 2: Tìm \(q , s\) sao cho \(q s = 4\).

Thử các cặp đơn giản: \(\left(\right. 1 , 4 \left.\right) , \left(\right. 2 , 2 \left.\right) , \left(\right. 4 , 1 \left.\right) , \left(\right. - 1 , - 4 \left.\right) , \left(\right. - 2 , - 2 \left.\right) , \left(\right. - 4 , - 1 \left.\right)\). Kiểm tra xem có thỏa hệ hay không.

• Thử \(q = - 2 , s = - 2\) (tích 4).
  Khi đó:
• • \(p r + \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. - 2 \left.\right) = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r - 4 = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r = - 10.\)
  • \(p + r = 3.\)
  • Kiểm tra điều kiện \(p s + q r = p \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. - 2 \left.\right) r = - 2 p - 2 r = - 2 \left(\right. p + r \left.\right) = - 2 \cdot 3 = - 6.\) Đúng khớp với hệ số \(- 6\).
    Thỏa!
    Giải hệ \(p + r = 3 , p r = - 10.\)
    ⇒ \(t^{2} - 3 t - 10 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} .\)
    ⇒ \(t = 5\) hoặc \(t = - 2.\) Vì tổng 3 nên một là 5, một là -2. Ví dụ \(p = 5 , r = - 2\) hoặc ngược lại.

Chọn \(p = 5 , r = - 2\). Khi đó

\(x^{4} + 3 x^{3} - 14 x^{2} - 6 x + 4 = \left(\right. x^{2} + 5 x - 2 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x - 2 \left.\right) .\)

Bước 3: Giải hai phương trình bậc hai

1. \(x^{2} + 5 x - 2 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) = 25 + 8 = 33.\)
   \(x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2} .\)
2. \(x^{2} - 2 x - 2 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) = 4 + 8 = 12.\)
   \(x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} .\)

Kết luận b)

Phương trình có 4 nghiệm thực:

\(x = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{2} , x = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{2} , x = 1 + \sqrt{3} , x = 1 - \sqrt{3} .\)

3. Phương trình c)

\(x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2} - 20 x + 16 = 0.\)

Bước 1: Giả sử phân tích

\(x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2} - 20 x + 16 = \left(\right. x^{2} + p x + q \left.\right) \left(\right. x^{2} + r x + s \left.\right) .\)

So sánh:

• \(p + r = 5.\)
• \(p r + q + s = - 14.\)
• \(p s + q r = - 20.\)
• \(q s = 16.\)

Bước 2: Tìm \(q , s\) sao cho \(q s = 16\).

Thử cặp đơn giản: có thể \(q = - 4 , s = - 4\) cho tích 16. Kiểm tra:

• Nếu \(q = - 4 , s = - 4\):
• • \(p r + \left(\right. - 4 \left.\right) + \left(\right. - 4 \left.\right) = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r - 8 = - 14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p r = - 6.\)
  • \(p + r = 5.\)
  • Kiểm tra \(p s + q r = p \left(\right. - 4 \left.\right) + \left(\right. - 4 \left.\right) r = - 4 p - 4 r = - 4 \left(\right. p + r \left.\right) = - 4 \cdot 5 = - 20.\) Đúng khớp.
    ⇒ Hệ \(p + r = 5 , p r = - 6\).
    ⇒ \(t^{2} - 5 t - 6 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} .\)
    ⇒ \(t = 6\) hoặc \(t = - 1\). Tổng 5 ⇒ một là 6, một là -1. Ví dụ \(p = 6 , r = - 1\) hoặc ngược lại.

Chọn \(p = 6 , r = - 1\). Khi đó

\(x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2} - 20 x + 16 = \left(\right. x^{2} + 6 x - 4 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x - 4 \left.\right) .\)

Bước 3: Giải hai phương trình bậc hai

1. \(x^{2} + 6 x - 4 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 36 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 4 \left.\right) = 36 + 16 = 52 = 4 \cdot 13.\)
   \(x = \frac{- 6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{13}}{2} = - 3 \pm \sqrt{13} .\)
2. \(x^{2} - x - 4 = 0\).
   Discriminant \(\Delta = 1 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 4 \left.\right) = 1 + 16 = 17.\)
   \(x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} .\)

Kết luận c)

Phương trình có 4 nghiệm thực:

\(x = - 3 + \sqrt{13} , x = - 3 - \sqrt{13} , x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} , x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} .\)

4. Phương trình d)

\(3 x^{4} + 2 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12 = 0.\)

Bước 1: Thử tách nhân tử

Ở đây hệ số cao nhất là 3. Thông thường ta cũng kiểm tra xem có nghiệm hữu tỉ dạng \(\pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \pm 4 , \pm 6 , \pm 12 , \ldots\) theo định lý nghiệm hữu tỉ (ước của 12 trên ước của 3). Thử lần lượt:

• Thử \(x = 1\): \(3 + 2 - 13 - 4 + 12 = 0.\) ⇒ \(1\) là nghiệm thực.
• Thử \(x = - 2\): \(3 \cdot 16 + 2 \cdot \left(\right. - 8 \left.\right) - 13 \cdot 4 - 4 \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) + 12 = 48 - 16 - 52 + 8 + 12 = 0.\) ⇒ \(x = - 2\) cũng là nghiệm thực.

Vậy đa thức có nhân tử \(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right)\). Chia đa thức cho \(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right)\) hoặc lặp lại phép chia đa thức:

Bước 2: Chia đa thức

Chia \(3 x^{4} + 2 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12\) cho \(\left(\right. x - 1 \left.\right)\) trước:

• Dùng phép chia đa thức hoặc tổng quát biết rằng sau khi tách \(x = 1\) và \(x = - 2\), ta có thể viết
  \(3 x^{4} + 2 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12 = \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. đ\text{a}\&\text{nbsp};\text{th}ứ\text{c}\&\text{nbsp};\text{b}ậ\text{c}\&\text{nbsp};\text{2} \left.\right) .\)

Thực hiện nhanh phép chia (hoặc dùng Euclid) sẽ cho đa thức bậc 2 là \(3 x^{2} - x - 6\). Bạn có thể kiểm tra:

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. 3 x^{2} - x - 6 \left.\right) = \left(\right. x^{2} + x - 2 \left.\right) \left(\right. 3 x^{2} - x - 6 \left.\right) .\)

Nhân ra sẽ thu lại đa thức gốc (có thể tự kiểm tra).

Bước 3: Giải đa thức bậc hai còn lại

Giải \(3 x^{2} - x - 6 = 0\).
Discriminant \(\Delta = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \left(\right. - 6 \left.\right) = 1 + 72 = 73.\)

\(x = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6} .\)

Kết luận d)

Phương trình có 4 nghiệm thực:

\(x = 1 , x = - 2 , x = \frac{1 + \sqrt{73}}{6} , x = \frac{1 - \sqrt{73}}{6} .\)