a) Do 

A

B

C

D

ABCD là hình bình hành nên 

A

D

AD // 

B

C

BC và 

A

D

=

B

C

AD=BC.

 

Do 

A

D

AD // 

B

C

BC nên 

A

D

B

^

 

=

C

B

D

^

ADB

  = 

CBD

  (so le trong)

 

Xét 

Δ

A

D

H

ΔADH và 

Δ

C

B

K

ΔCBK có:

 

     

A

H

D

^

 

=

C

K

B

^

=

9

0

∘

AHD

  = 

CKB

 =90 

∘

 ;

 

     

A

D

=

B

C

AD=BC (chứng minh trên);

 

     

A

D

H

^

 

=

C

B

K

^

ADH

  = 

CBK

  (do 

A

D

B

^

 

=

C

B

D

^

ADB

  = 

CBD

 ).

 

Do đó 

Δ

 

A

D

H

=

Δ

 

C

B

K

Δ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

 

Suy ra 

A

H

=

C

K

AH=CK (hai cạnh tương ứng).

 

Ta có 

A

H

⊥

 

D

B

AH⊥ DB và 

C

K

⊥

 

D

B

CK⊥ DB nên 

A

H

AH // 

C

K

CK.

 

Tứ giác 

A

H

C

K

AHCK có 

A

H

AH // 

C

K

CK và 

A

H

=

C

K

AH=CK nên 

A

H

C

K

AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

 

b) Do 

A

H

C

K

AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo 

A

C

AC và 

H

K

HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 

Mà 

I

I là trung điểm của 

H

K

HK (giả thiết) nên 

I

I là trung điểm của 

A

C

AC.

 

Do 

A

B

C

D

ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo 

A

C

AC và 

B

D

BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 

Mà 

I

I là trung điểm của 

A

C

AC nên 

I

I là trung điểm của 

B

D

BD, hay 

I

B

=

I

D

IB=ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

 

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

 

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

 

Suy ra DE = BF.

 

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

 

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

 

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

 

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác 

A

B

C

ABC có hai đường trung tuyến 

B

M

BM và 

C

N

CN cắt nhau tại 

G

G (giả thiết) nên 

G

G là trọng tâm của 

Δ

A

B

C

ΔABC.

 

Suy ra 

G

M

=

G

B

2

GM= 

2

GB

​

 ; 

G

N

=

G

C

2

GN= 

2

GC

​

  (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

 

Mà 

P

P là trung điểm của 

G

B

GB (giả thiết) nên 

G

P

=

P

B

=

G

B

2

GP=PB= 

2

GB

​

  (2)

 

Q

Q là trung điểm của 

G

C

GC (giả thiết) nên 

G

Q

=

Q

C

=

G

C

2

GQ=QC= 

2

GC

​

  (3)

 

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

G

M

=

G

P

GM=GP và 

G

N

=

G

Q

GN=GQ.

 

Xét tứ giác 

P

Q

M

N

PQMN có: 

G

M

=

G

P

GM=GP và 

G

N

=

G

Q

GN=GQ (chứng minh trên)

 

Do đó tứ giác 

P

Q

M

N

PQMN có hai đường chéo 

M

P

MP và 

N

Q

NQ cắt nhau tại trung điểm 

G

G của mỗi đường nên là hình bình hành.

) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

 

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

 

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

 

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

 

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

 

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

 

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

 

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

 

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

 

Mà O là trung điểm của AF.

 

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

 

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì

ABCD là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo 

AC và

BD cắt nhau tại 

O nên OA=OC

OB=OD.

+

AB //

CD nên 

AM // 

CN suy ra 

^

OAM

 = 

OCN

  (hai góc so le trong).

Xét 

ΔOAM và 

Δ OCN có:

        O A M= O C N (chứng minh trên)

OA=OC (chứng minh trên)

AOM = (CON)( hai góc đối đỉnh)

 

Do đó 

Δ OAM=Δ OCN (g.c.g).

Suy ra 

AM=CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác,

AB=CD (chứng minh trên);

AB=AM+BM; 

CD=CN+DN.

Suy ra 

BM=DN.

Xét tứ giác 

MBND có:

BM // 

DN (vì 

AB // 

CD)

BM=DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác

MBND là hình bình hành.

File: undefined